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1、曲线与其切线关系误点辨析中山纪念中学李文东528454lwd8101@163.com在高中数学学习导数时，经常会碰到求函数的切线方程这一
2、'uj题，主要做法是函数在切点处的导数值等于切线的斜率.而对于切线的理解，由于受圆和圆锥曲线切线(圆与圆锥曲线的切线:与曲线只有一个公共点并且位于曲线一边的直线叫切线)的影响，同学们对于切线的汄识存在着许多的误解，本文就常见的误解加以一一辨析，希望起到明辨是非的作用.首先我们来看看人教选修2-3中关于曲线的切线的定义：T切线如图，设曲线C是函数y=/(x)的图像，点尸(％，＞；))是曲线C
3、上一点，作割线尸2,当点2沿着曲线C无限地趋近于点P，割线无限地趋近于某一极限位罝pr,我们就把极限位置上的直线pr，叫做曲线c在点尸处的切线.通过割线的极限位置來定义过点戶的曲线的切线，应注意割线从“左右两侧”向点p靠近时，二者的极限位置重合，此时曲线在点p处才能称有切线.误区一：切线与曲线有且只有一个公共点例1:函数/(x)=x3-X+2在点P(l，2)的切线与/(x)的图像的交点的个数为个.误解：函数/(%)=x3-x+2在点尸(1，2)的切线与/(%)的图像的交点的个数只有1个.正解：/(%)=3x2-1,故，(1)
4、=2,切线方程为y=联立v=2x,，解得两交点坐标尸(1，2)和0(-2,一4),故函数y=X—x+2/(X)=x3—X+2在点P(l，2)的切线与/(X)的图像的交点的个数有2个(如图).例如函数｝=8^1又，在点，1^处的切线力y=l，它与函数y=sinx有无数个公共点—+2々tt,1，々eZ;又如函数＞，=6/x+/?,在任意一点处的切线为;v=+，它与原来27的函数重合，与函数+有无数个公共点，并且是不可数的.一般地，曲线与其切线的公共的个数：曲线的切线与曲线的公共点的个数可能不是唯一的，公共点的个数可随曲线及曲
5、线上切点的位置的改变而不同.直线与曲线相切，并不一定只有一个公共点，当曲线是二次曲线时，上述结论才成立，而对于一般曲线，这种观点不一定正确.误区二：直线与曲线若只有一个公共点，则直线与曲线相切事实上，如果直线与曲线只有一个公共点，则等价于直线方程与曲线方程所组成的方程组只有一组解.就其位置关系而言，米必是相切，还可能是相交的.例如函数和直线%=1相交，两者却只有一个公共点.误区三：切线位于曲线上切点的一侧以大家熟悉的函数y=x3为例，容易求得它在点（0,0）处的切线为y=0,即x轴，其切线在切点处却穿过丫函数y=的图像；函数
6、y=tanx,在点（0,0）处的切线为;v=又，函数y=tanx与函数y=x3的图像很相似，然而它们在原点处的切线却完全不一样.1.事实上，可以证明：当切点不是曲线的拐点（凹凸性改变的点）时，在切点附近，切线在切点的一侧；当切点是曲线的拐点时，切线必然穿过切点.2.若函数/（x）为凹函数，则/（x）在每一点处的切线位于曲线的下方（切点除外）；若函数/U）为凸函数，则/（x）在每一点处的切线位于曲线的上方（切点除外）.例2:函数y=lnx是凸函数，它在x=l处的切线方程y=又一1在函数y=lnx的上方（切点除外），由此可得不等
7、式：—1（%〉0）函数>，=xlnx是凹函数，它在x=l处的切线方程y=x—1在函数y二xlnx的下方（切点除外），由此可得不等式:xlnx>x-l（x>0）,于是1—丄（x〉0）X于是我们有：1-IsinxSx-l（x〉0）,在这个不等式屮把x换成久+1,进而有我们熟知的不等式：-^--l）误区四：曲线在任意一点处的切线存在导数的几何意义反应了曲线在某点处切线的斜率.故反映了下列几种情况：1.函数在某点处的导数存在，则函数图像在该点处切线的斜率存在，故切线一定存在.例如:比较特殊的y=X3在（0,
8、0）点的切线.2.函数在某点处的导数不存在，切线存在.例如：y=^c,在点（0,0）处的导数不存在，其切线的斜率不存在，但在x=0处的切线为x=0,即y轴（如图6）.1.函数在某点处的导数不存在，切线不存在.例如：函数y=
9、x
10、，在点（0,0）处由于导数不存在，却无切线.因而若函数在某点处不存在导数，不一定不存在切线，存在切线也不一定可导.导数是切线的斜率，没有斜率的直线只能是垂直于X轴的直线.因此，切线存在而导数不存在的点必然满足导数是无穷的情形，其切线垂直于X轴.误区五：过曲线上一点与曲线相切的直线有且只有一条.例3:求
11、过点(1,-1)作曲线=X3—2%的切线的方程.解：设P(6Z，/?)为切点，贝IJ切线的斜率为/
12、^=(3?-2)
13、门二3乂-2..•.切线方程为：y-(a3-2a)=(3a2-2)(x-a)i•••切线过(1，—1)点，代入得方程:26?—3cz2+l=0,解得：a=]a=故所求切线方
