对偶理论和灵敏度分析第4节

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1、运筹学（第三版）《运筹学》教材编写组编写清华大学出版社第2章对偶理论和灵敏度分析第4节线性规划的对偶理论钱颂迪制作第2章对偶理论和灵敏度分析第4节线性规划的对偶理论从理论上讨论线性规划的对偶问题4.1原问题与对偶理论原问题（LP）：对偶问题(DP)标准型原问题与对偶问题的关系例2根据表2-3写出原问题与对偶问题的表达式。表2-3xyx1x2by1128y24016y30412c23标准形式的变换关系为对称形式原问题（LP）对偶问题(DP)非对称形式的变换关系原问题的约束条件中含有等式约束条件时，按以下

2、步骤处理。设等式约束条件的线性规划问题第一步：先将等式约束条件分解为两个不等式约束条件。第二步：按对称形式变换关系可写出它的对偶问题设yi′是对应(2-13)式的对偶变量yi″是对应(2-14)式的对偶变量。这里i=1,2,…，m将上述规划问题的各式整理后得到综合上述，线性规划的原问题与对偶问题的关系，其变换形式归纳为表2-4中所示的对应关系。例3试求下述线性规划原问题的对偶问题则由表2-4中原问题和对偶问题的对应关系，可以直接写出上述问题的对偶问题，4.2对偶问题的基本性质(1)对称性对偶问题的对

3、偶是原问题;(2)弱对偶性若X是原问题的可行解，Y是对偶问题的可行解。则存在CX≤Yb;(3)无界性若原问题(对偶问题)为无界解，则其对偶问题(原问题)无可行解;(4)可行解是最优解时的性质;(5)对偶定理若原问题有最优解，那么对偶问题也有最优解；且目标函数值相等;(6)互补松弛性;(7)原问题检验数与对偶问题解的关系.(1)对称性对偶问题的对偶是原问题证设原问题是maxz=CX;AX≤b；X≥0根据对偶问题的对称变换关系，可以找到它的对偶问题是minω=Yb;YA≥C；Y≥0若将上式两边取负号，又因

4、minω=max(-ω)可得到max(-ω)=-Yb;-YA≤-C；Y≥0根据对称变换关系，得到上式的对偶问题是min(-ω′)=-CX；-AX≥-b;X≥0又因min(-ω′)=maxω′可得maxω′=maxz=CX；AX≤b;X≥0这就是原问题。证毕。(2)弱对偶性证明：(3)无界性若原问题(对偶问题)为无界解，则其对偶问题(原问题)无可行解证：由性质（2）可知，例：从两图对比可明显看到原问题无界，其对偶问题无可行解y1y2(4)可行解是最优解时的性质设是原问题的可行解，是对偶问题的可行解，当

5、时，是最优解。证明：(5)对偶定理若原问题有最优解，那么对偶问题也有最优解；且目标函数值相等。(6)互补松弛性将原问题目标函数中的系数向量C用C=YA-YS代替后，得到z=(YA-YS)X=YAX-YSX(2-15)将对偶问题的目标函数中系数列向量b，用b=AX+XS代替后，得到ω=Y(AX+XS)=YAX+YXS(2-16)(7)原问题检验数与对偶问题解的关系设原问题是maxz=CX;AX+XS=b;X,XS≥0它的对偶问题是minω=Yb;YA-YS=C;Y,YS≥0则原问题单纯形表的检验数行对应

6、其对偶问题的一个基解，其对应关系见表2-5。表2-5对应关系YS1是对应原问题中基变量XB的剩余变量，YS2是对应原问题中非基变量XN的剩余变量。证:设B是原问题的一个可行基，于是A=(B,N)；原问题可以改写为maxz=CBXB+CNXNBXB+NXN+XS=bXB，XN，XS≥0相应地对偶问题可表示为minω=YbYB-YS1=CB(2-17)YN-YS2=CN(2-18)Y，YS1,YS2≥0这里YS=(YS1，YS2)。当求得原问题的一个解：XB=B-1b其相应的检验数为CN-CBB-1N与-

7、CBB-1现分析这些检验数与对偶问题的解之间的关系：令Y=CBB-1，将它代入(2-17)式，(2-18)式得YS1=0,-YS2=CN-CBB-1N证毕例4已知线性规划问题maxz=x1+x2-x1+x2+x3≤2-2x1+x2-x3≤1x1,x2,x3≥0试用对偶理论证明上述线性规划问题无最优解。先将其变换为对偶问题。上述问题的对偶问题为minω=2y1+y2-y1-2y2≥1y1+y2≥1y1-y2≥0y1，y2≥0由第1约束条件，可知对偶问题无可行解；原问题虽然有可行解，但最优解。例5已知线性

8、规划问题minω=2x1+3x2+5x3+2x4+3x5x1+x2+2x3+x4+3x5≥42x1-x2+3x3+x4+x5≥3xj≥0，j=1，2，…，5已知其对偶问题的最优解为y1*=4/5，y2*=3/5；z=5。试用对偶理论找出原问题的最优解。解：先写出它的对偶问题maxz=4y1+3y2y1+2y2≤2①y1-y2≤3②2y1+3y2≤5③y1+y2≤2④3y1+y2≤3⑤y1，y2≥0将y1*=4/5,y2*=3/5的值代入约束条件，得②=1