2017年考研数学三真题与解析

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1、2017年考研数学三真题一、选择题1—8小题．每小题4分，共32分．1．若函数在处连续，则（A）（B）（C）（D）【详解】，，要使函数在处连续，必须满足．所以应该选（A）2．二元函数的极值点是（）（A）（B）（C）（D）【详解】，，解方程组，得四个驻点．对每个驻点验证，发现只有在点处满足，且，所以为函数的极大值点，所以应该选（D）3．设函数是可导函数，且满足，则（A）（B）（C）（D）【详解】设，则，也就是是单调增加函数．也就得到，所以应该选（C）4．若级数收敛，则（）（A）（B）（C）（D）10【详解】iv时显然当且仅当，也就是时，级数的一般项是关于的

2、二阶无穷小，级数收敛，从而选择（C）．5．设为单位列向量，为阶单位矩阵，则（A）不可逆（B）不可逆（C）不可逆（D）不可逆【详解】矩阵的特征值为和个，从而的特征值分别为；；；．显然只有存在零特征值，所以不可逆，应该选（A）．6．已知矩阵，，，则（A）相似，相似（B）相似，不相似（C）不相似，相似（D）不相似，不相似【详解】矩阵的特征值都是．是否可对解化，只需要关心的情况．对于矩阵，，秩等于1，也就是矩阵属于特征值存在两个线性无关的特征向量，也就是可以对角化，也就是．对于矩阵，，秩等于2，也就是矩阵属于特征值只有一个线性无关的特征向量，也就是不可以对角化，

3、当然不相似故选择（B）．7．设，是三个随机事件，且相互独立，相互独立，则与相互独立的充分必要条件是（）（A）相互独立（B）互不相容（C）相互独立（D）互不相容【详解】10显然，与相互独立的充分必要条件是，所以选择（C）．8．设为来自正态总体的简单随机样本，若，则下列结论中不正确的是（）（A）服从分布（B）服从分布（C）服从分布（D）服从分布解：（1）显然且相互独立，所以服从分布，也就是（A）结论是正确的；（2），所以（C）结论也是正确的；（3）注意，所以（D）结论也是正确的；（4）对于选项（B）：，所以（B）结论是错误的，应该选择（B）二、填空题（本题共

4、6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）9．．解：由对称性知．10．差分方程的通解为．【详解】齐次差分方程的通解为；设的特解为，代入方程，得；所以差分方程的通解为11．设生产某产品的平均成本，其中产量为，则边际成本为.10【详解】答案为．平均成本，则总成本为，从而边际成本为12．设函数具有一阶连续的偏导数，且已知，，则【详解】，所以，由，得，所以．13．设矩阵，为线性无关的三维列向量，则向量组的秩为．【详解】对矩阵进行初等变换，知矩阵A的秩为2，由于为线性无关，所以向量组的秩为2．14．设随机变量的概率分布为，，，若，则．【详解】显然由概率

5、分布的性质，知，解得，．三、解答题15．（本题满分10分）求极限【详解】令，则，1016．（本题满分10分）计算积分，其中是第一象限中以曲线与轴为边界的无界区域．【详解】17．（本题满分10分）求【详解】由定积分的定义18．（本题满分10分）已知方程在区间内有实根，确定常数的取值范围．【详解】设，则令，则，所以在上单调减少，由于，所以当时，，也就是在上单调减少，当时，，进一步得到当时，，也就是在上单调减少．10，，也就是得到．19．（本题满分10分）设，为幂级数的和函数（1）证明的收敛半径不小于．（2）证明，并求出和函数的表达式．【详解】（1）由条件也就

6、得到，也就得到也就得到，所以收敛半径（2）所以对于幂级数，由和函数的性质，可得，所以也就是有．10解微分方程，得，由于，得所以．20．（本题满分11分）设三阶矩阵有三个不同的特征值，且（1）证明：；（2）若，求方程组的通解．【详解】（1）证明：因为矩阵有三个不同的特征值，所以是非零矩阵，也就是．假若时，则是矩阵的二重特征值，与条件不符合，所以有，又因为，也就是线性相关，，也就只有．（2）因为，所以的基础解系中只有一个线性无关的解向量．由于，所以基础解系为；又由，得非齐次方程组的特解可取为；方程组的通解为，其中为任意常数．21．（本题满分11分）设二次型在

7、正交变换下的标准形为，求的值及一个正交矩阵．【详解】二次型矩阵因为二次型的标准形为．也就说明矩阵有零特征值，所以，故10令得矩阵的特征值为．通过分别解方程组得矩阵的属于特征值的特征向量，属于特征值特征值的特征向量，的特征向量，所以为所求正交矩阵．22．（本题满分11分）设随机变量相互独立，且的概率分布为，的概率密度为．（1）求概率；（2）求的概率密度．【详解】（1）所以（2）的分布函数为故的概率密度为1023．（本题满分11分）某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做了次测量，该物体的质量是已知的，设次测量结果相互独立且均服从正态分布该工程

8、师记录的是次测量的绝对误差，利用估计参数．（1）求的概率密度；（2）利用一阶矩求