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1、2.特殊平行四边形（矩形）义务教育课程标准实验教科书北师大版九年级上册第三章证明（三）达川区中小学教研室向荣一个角是直角两组对边分别平行平行四边形矩形情景创设我们已经知道平行四边形是特殊的四边形，因此平行四边形除具有四边形的性质外，还有它的特殊性质，同样对于平行四边形来说也有特殊情况即特殊的平行四边形，那么这堂课我们就来研究一种特殊的平行四边形——矩形有一个角是直角的平行四边形是矩形矩形的定义：平行四边形矩形有一个角是直角矩形是特殊的平行四边形探索矩形的性质具备平行四边形所有的性质ABCDO角边对角线对边平行且相等对角相等对角线互相平分矩形
2、的一般性质：矩形是一个特殊的平行四边形，除了具有平行四边形的所有性质外，还有哪些特殊性质呢？猜想1：矩形的四个角都是直角．猜想2：矩形的对角线相等．ABCD探索新知求证：矩形的四个角都是直角．求证:矩形的对角线相等.已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，∠A=90°求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°ABCD∵四边形ABCD是平行四边形∠A=90°∴∠B=∠D=90°∴∠A=∠C=90°∠B=∠D又∵∠A+∠B=180°∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°证明：已知：如图,四边形ABCD是矩形求证：AC=BDABCD证明：在矩形ABCD中∵∠
3、ABC=∠DCB=90°又∵AB=DC，BC=CB∴△ABC≌△DCB∴AC=BD矩形的性质矩形特殊的性质定理：矩形的四个角都是直角．定理：矩形的两条对角线相等．从角上看：从对角线上看：议一议ABCDE如图，设矩形的对角线AC与BD相交于点E，那么BE是Rt△ABC中的一条怎样的特殊线段？它与AC有什么大小关系？为什么？推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半BE是Rt△ABC中斜边AC上的中线.BE等于AC的一半.求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半已知:CD是Rt△ABC的斜边AB上的中线求证:ABCDE证明:延长CD到E使得C
4、D=DE,连接AE,BE又∵AD=BD∴四边形ACBE是平行四边形.又∵∠ACB=900∴四边形ACBE是矩形.∴AB=CE直角三角形的判定定理:如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.求证:△ABC是直角三角形ABCD我思,我进步已知:CD是△ABC边AB上的中线,且(1)若BD=3㎝则AC＝㎝(2)若∠C=30°，AB＝5㎝，则AC＝㎝，BD＝㎝.1.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是()B.对边相等A.对角相等C.对角线相等D.对角线互相平分C营中热身DCBA┓2.已知△ABC是直角三角形，∠ABC=
5、900，BD是斜边AC上的中线6510矩形性质的应用例题欣赏例1.已知:如图,AC,BD是矩形ABCD的两条对角线,AC,BD相交于点O,∠AOD=1200,AB=2.5cm.求矩形对角线的长.解:∵四边形ABCD是矩形,∴BD=2AB=2×2.5=5(cm).∵∠DAB=900,DBCAO∵∠AOD=1200,你认为例1还可以怎么去解？∴AC=BD,且∴∠ODA=∠OAD=矩形的判定定理:有三个角是直角的四边形是矩形.已知:如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=900.证明:∵∠A=∠B=∠C=900,∴∠A+∠B=1800,∠B+
6、∠C=1800.∴AD∥BC,AB∥CD.求证:四边形ABCD是矩形.∴四边形ABCD是平行四边形.DBCA∴四边形ABCD是矩形.定理:对角线相等的平行四边形是矩形.已知:如图,在□ABCD中,对角线AC=BD.求证:四边形ABCD是矩形.证明:∴AB=CD,AB∥CD.∵AC=DB,BC=CB,∴△ABC≌△DCB.∴∠ABC=∠DCB.∵四边形ABCD是平行四边形.∵∠ABC+∠DCB=1800.∴∠ABC=900.∴四边形ABCD是矩形.DBCA例2.如图，E为ABCD外一点,连接AC、BD相交于点O，且AE⊥EC,BE⊥ED.试说
7、明：ABCD是矩形.ABCDEO例题欣赏证明：连接OE∵四边形ABCD是平行四边形∴O是AC、BD的中点∴平行四边形ABCD为矩形．(对角线相等的平行四边形是矩形)∴AC=BD矩形判定的应用矩形的性质,推论定理:矩形的四个角都是直角.定理:矩形的两条对角线相等.推论(直角三角形性质):直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.回顾思考矩形的判定,直角三角形的判定定理:有三个角是直角的四边形是矩形.定理:对角线相等的平行四边形是矩形.定理:如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.作业布置:P97习题3.4第1题，第3
8、题P108第13题严格性之于数学家,犹如道德之于人.条理清晰，因果相应,言必有据.是初学证明者谨记和遵循的原则.谢谢！
