概率论与数理统计 谢永钦

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1、概率论与数理统计概率论与数理统计谢永钦21.确定性现象和不确定性现象.2.随机现象:在个别试验中其结果呈现出不确定性,在大量重复试验中其结果又具有统计规律性.第一章概率论的基本概念前言3.概率与数理统计的广泛应用.3§1.随机试验E1:抛一枚硬币，观察正(H)反(T)面的情况.E2:将一枚硬币抛三次,观察正反面出现的情况.E3:将一枚硬币抛三次，观察出现正面的情况.举例:我们将对自然现象的一次观察或进行一次科学试验称为试验。E4:电话交换台一分钟内接到的呼唤次数.E5:在一批灯泡中任取一只,测试它的寿命.4随机试验:(1)可在相同的条件下

2、重复试验;(2)每次试验的结果不止一个,且能事先明确所有可能的结果;(3)一次试验前不能确定会出现哪个结果.5§2.样本空间与随机事件(一)样本空间:定义随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间,记为S.样本空间的元素称为样本点，用表示.样本空间的分类:1.离散样本空间:样本点为有限个或可列个.例E1,E2等.2.无穷样本空间:样本点在区间或区域内取值.例灯泡的寿命{t

3、t≥0}.6(二)随机事件定义样本空间S的子集称为随机事件,简称事件.在一次试验中,当且仅当这一子集中的一个样本点出现时,称这一事件发生.基本事件:复合事件:

4、必然事件:不可能事件：由一个样本点组成的单点集.如:{H},{T}.由两个或两个以上的基本事件复合而成的事件为复合事件.如:E3中{出现正面次数为奇数}.样本空间S是自身的子集，在每次试验中总是发生的，称为必然事件。空集φ不包含任何样本点,它在每次试验中都不发生，称为不可能事件。7例1.试确定试验E2中样本空间,样本点的个数,并给出如下事件的元素:事件A1=“第一次出现正面”、事件A2=“恰好出现一次正面”、事件A3=“至少出现一次正面”.8（三）事件间的关系与事件的运算1.包含关系和相等关系:ABS若事件A发生必然导致事件B发生,则称件

5、B包含事件A,记作AB.若AB且AB,即A=B,则称A与B相等.9BAS2.和事件:3.积事件：事件AB={x

6、xA且xB}称A与B的积，即事件A与B同时发生.AB可简记为AB.类似地,事件为可列个事件A1,A2,...的积事件.BAS104.差事件:事件A-B={x

7、xA且xB}称为A与B的差.当且仅当A发生,B不发生时事件A-B发生.即:显然:A-A=,A-=A,A-S=ABs11AB5.事件的互不相容(互斥):126.对立事件(逆事件)：SAB137.事件的运算律:交换律:结合律:对偶律:分配律:证明对偶律.

8、14例.甲、乙、丙三人各射击一次，事件A1,A2,A3分别表示甲、乙、丙射中，试说明下列事件所表示的结果：15§3.概率的概念一.古典定义：等可能概型的两个特点:例如:掷一颗骰子,观察出现的点数.(1)样本空间中的元素只有有限个;(2)试验中每个基本事件发生的可能性相同.概率的古典定义:对于古典概型,样本空间S＝{1,2,…,n},设事件A包含S的k个样本点，则事件A的概率定义为16古典概型概率的计算步骤:(1)选取适当的样本空间S,使它满足有限等可能的要求,且把事件A表示成S的某个子集.(2)计算样本点总数n及事件A包含的样本点数

9、k.(3)用下列公式计算:17例1.袋中装有4只白球和2只红球.从袋中摸球两次,每次任取一球.有两种式:(a)放回抽样;(b)不放回抽样.求:(1)两球颜色相同的概率;(2)两球中至少有一只白球的概率.例2.设一袋中有编号为1,2,…,9的球共9只,现从中任取3只,试求:(1)取到1号球的概率,（事件A）(2)最小号码为5的概率.（事件B）18例3.某接待站在某一周曾接待过12次来访,且都是在周二和周四来访.问是否可以推断接待时间是有规定的?实际推断原理:“小概率事件在一次试验中实际上是不可能发生的”.注19二、几何定义:定义20定义当随

10、机试验的样本空间是某个区域,并且任意一点落在度量(长度,面积,体积)相同的子区域是等可能的,则事件A的概率可定义为说明当古典概型的试验结果为连续无穷多个时,就归结为几何概率.21例1甲、乙两人相约在0到T这段时间内,在预定地点会面.先到的人等候另一个人,经过时间t(t0)的一些平行直线,现向此平面任意投掷一根长

11、为l(