第5章 线性参数最小二乘处理

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1、第5章线性参数的最小二乘处理最小二乘法原理是一种在多学科领域中获得广泛应用的数据处理方法．本章将重点阐述最小二乘法原理在线性参数和非线性参数估计中的应用。从而使学生掌握最小二乘法的基本思路和基本原理，以及在等精度或不等精度测量中线性、非线性参数的最小二乘估计方法，并科学给出估计精度。教学目标最小二乘法原理等精度测量线性参数的最小二乘处理不等精度测量线性参数的最小二乘处理最小二乘估计量的精度估计组合测量的最小二乘法处理重点与难点第一节　最小二乘原理一、引入待测量（难以直接测量）：直接测量量：问题：如何根据　　　　和测量方程解得待测量的估计值　　　　　？直接求得　　　　　。有利于减小随机

2、误差，方程组有冗余，采用最小二乘原理求。第一节　最小二乘原理讨论：最小二乘原理：最可信赖值应使残余误差平方和最小。第一节　最小二乘原理二、最小二乘原理设直接测量量的估计值为，则有由此得测量数据的残余误差残差方程式第一节　最小二乘原理若不存在系统误差，相互独立并服从正态分布，标准差分别为，则出现在相应真值附近区域内的概率为由概率论可知，各测量数据同时出现在相应区域的概率为第一节　最小二乘原理测量值已经出现，有理由认为这n个测量值出现于相应区间的概率P为最大。要使P最大，应有最小由于结果只是接近真值的估计值，因此上述条件应表示为最小等精度测量的最小二乘原理：最小不等精度测量的最小二乘原理

3、：第一节　最小二乘原理最小最小二乘原理（其他分布也适用）测量结果的最可信赖值应使残余误差平方和（或加权残余误差平方和）最小。第一节　最小二乘原理三、等精度测量的线性参数最小二乘原理线性参数的测量方程和相应的估计量为：残差方程为第一节　最小二乘原理令则残差方程的矩阵表达式为等精度测量最小二乘原理的矩阵形式：不等精度测量最小二乘原理的矩阵形式：第一节　最小二乘原理思路一：权矩阵四、不等精度测量的线性参数最小二乘原理第一节　最小二乘原理思路二：不等精度　　　等精度则有：第二节　正规方程正规方程：误差方程按最小二乘法原理转化得到的有确定解的代数方程组。一、等精度测量线性参数最小二乘处理的正规

4、方程第二节　正规方程正规方程：特点：主对角线分布着平方项系数，正数相对于主对角线对称分布的各系数两两相等看正规方程组中第r个方程：则正规方程可写成第二节　正规方程即正规方程的矩阵形式第二节　正规方程将　　　　　代入到　　　　中，得（待测量Ｘ的无偏估计）第二节　正规方程例5.1已知铜棒的长度和温度之间具有线性关系：　　　　　　　　　　　　　　　　　　，为。为获得０℃时铜棒的长度和铜的线膨胀系数　，现测得不同温度下铜棒的长度，如下表，求　，　的最可信赖值。1020304050602000.362000.722000.82001.072001.482000.60解：1）列出误差方程令为两个

5、待估参量，则误差方程为第二节　正规方程按照最小二乘的矩阵形式计算则有：第二节　正规方程那么：第二节　正规方程二、不等精度测量线性参数最小二乘处理的正规方程由此可得不等精度测量线性参数最小二乘处理的正规方程：第二节　正规方程整理得：第二节　正规方程即不等精度的正规方程将　　　　　代入上式，得（待测量Ｘ的无偏估计）第二节　正规方程例5.2某测量过程有误差方程式及相应的标准差：试求的最可信赖值。解：首先确定各式的权第二节　正规方程令三、非线性参数最小二乘处理的正规方程第二节　正规方程针对非线性函数其测量误差方程为令，现将函数在处展开，则有将上述展开式代入误差方程，令则误差方程转化为线性方程

6、组于是可解得，进而可得。近似值第二节　正规方程第二节　正规方程为获得函数的展开式，必须首先确定1）直接测量2）通过部分方程式进行计算：从误差方程中选取最简单的t个方程式，如令，由此可解得。四、最小二乘原理与算术平均值原理的关系为确定一个被测量X的估计值x，对它进行n次直接测量，得n个数据，相应的权分别为，则测量的误差方程为按照最小二乘原理可求得结论：最小二乘原理与算术平均值原理是一致的，算术平均值原理是最小二乘原理的特例。第二节　正规方程第三节　精度估计目的：给出估计量的精度。一、测量数据精度估计A）等精度测量数据的精度估计对进行n次等精度测量，得的估计量。可以证明是自由度（n－t）

7、的变量。根据变量的性质，有则可取第三节　精度估计作为的无偏估计量。因此测量数据的标准差的估计量为第三节　精度估计B）不等精度测量数据的精度估计测量数据的单位权标准差的无偏估计第三节　精度估计二、最小二乘估计量的精度估计A）等精度测量最小二乘估计量的精度估计设有正规方程第三节　精度估计设利用上述不定乘数，可求得其中：第三节　精度估计由于为等精度的相互独立的正态随机变量，则同理可得则相应的最小二乘估计值的标准差为B）不等精度测量最小二乘估计量的精度估计第三节