知识点——集合与常用逻辑用语

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1、知识点——集合与常用逻辑用语【知识梳理】一、集合及其运算1．集合与元素(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于两种，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*(或N＋)ZQR2.集合间的基本关系关系自然语言符号语言Venn图子集集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)A⊆B(或B⊇A)真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中A⊊B(或B⊋A)集合相等集合A，B中的元素相同或集合A，B互为子集A＝B3.集合的基本运算运算自

2、然语言符号语言Venn图交集由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合A∩B＝{x

3、x∈A且x∈B}并集由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合A∪B＝{x

4、x∈A或x∈B}补集由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合∁UA＝{x

5、x∈U且x∉A}【知识拓展】1．若有限集A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1.2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.3．A∩(∁UA)＝∅；A∪(∁UA)＝U；∁U(∁UA)＝A.二、命题及其关系、充分条件与必要条件1．四种命题及相互关系2．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题

6、或互为否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；(2)如果p⇒q，但qp，则p是q的充分不必要条件；(3)如果p⇒q，且q⇒p，则p是q的充要条件；(4)如果q⇒p，且pq，则p是q的必要不充分条件；(5)如果pq，且qp，则p是q的既不充分也不必要条件．【知识拓展】1．两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性．2．若A＝{x

7、p(x)}，B＝{x

8、q(x)}，则(1)若A⊆B，则p是q的充分条件；(2)若A⊇B，则p是q的必要条件；(3)若A＝B，则p是q的充要条件；(4)若A⊊B，则p是q的充分不必要条件；(5)若A

9、⊋B，则p是q的必要不充分条件；(6)若AB且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．【易错提醒】1．描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素．如：{x

10、y＝lgx}——函数的定义域；{y

11、y＝lgx}——函数的值域；{(x，y)

12、y＝lgx}——函数图象上的点集．2．易混淆0，∅，{0}：0是一个实数；∅是一个集合，它含有0个元素；{0}是以0为元素的单元素集合，但是0∉∅，而∅⊆{0}．3．集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性．4．空集是任何集合的子集．由条件A⊆B，A∩B＝A，A∪B＝B求解集合A时，务必分析研究A＝

13、∅的情况．5．区分命题的否定与否命题，已知命题为“若p，则q”，则该命题的否定为“若p，则”，其否命题为“若，则”．6．对充分、必要条件问题，首先要弄清谁是条件，谁是结论．【必会习题】1．已知集合A＝{1,3，}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m等于(　　)A．0或B．0或3C．1或D．1或3答案　B解析　∵A∪B＝A，∴B⊆A，∴m∈{1,3，}，∴m＝1或m＝3或m＝，由集合中元素的互异性易知m＝0或m＝3.2．设集合A＝{x

14、1

15、x

16、a≥2}B．{a

17、a≤1}C．{a

18、a≥1}D．{a

19、a≤2}答案　A解析　若A⊆B

20、，则a≥2，故选A.3．已知集合M＝{x

21、－3

22、x<－5或x>5}，则M∪N等于(　　)A．{x

23、－3

24、－5

25、x<－5或x>－3}D．{x

26、x<－3或x>5}答案　C解析　在数轴上表示集合M、N，则M∪N＝{x

27、x<－5或x>－3}，故选C.4．满足条件{a}⊆A⊆{a，b，c}的所有集合A的个数是(　　)A．1B．2C．3D．4答案　D解析　满足题意的集合A可以为{a}，{a，b}，{a，c}，{a，b，c}，共4个．5．已知集合U＝R(R是实数集)，A＝{x

28、－1≤x≤1}，B＝{x

29、x2－2x<0}，则A∪(∁UB)等于(　　)A

30、．[－1,0]B．[1,2]C．[0,1]D．(－∞，1]∪[2，＋∞)答案　D解析　B＝{x

31、x2－2x<0}＝(0,2)，A∪(∁UB)＝[－1,1]∪(－∞，0]∪[2，＋∞)＝(－∞，1]∪[2，＋∞)，故选D.6．“x<0”是“ln(x＋1)<0”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案　B解析　ln(x＋1)<0，解得0