考向3直线和椭圆的综合问题

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1、考向3　直线与椭圆的综合问题(高频考点)命题视角　直线与椭圆的综合问题，是近年来高考命题的热点，主要命题角度有：(1)由已知条件求椭圆的方程或离心率；(2)由已知条件求直线的方程；(3)中点弦或弦的中点问题；(4)弦长问题；(5)与向量结合求参变量的取值．【典例3】　(2014·南京市、盐城市高三第一次模拟考试)在平面直角坐标系xOy中，已知过点的椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(1,0)，过焦点F且与x轴不重合的直线与椭圆C交于A，B两点，点B关于坐标原点的对称点为P，直线PA，PB分别交椭圆C的右准线l于M，N两点．(1)求椭圆C的标准方程；

2、(2)若点B的坐标为，试求直线PA的方程；(3)记M，N两点的纵坐标分别为yM，yN，试问yM·yN是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．[思路点拨]　(1)根据椭圆定义求出a的值，再由c＝1求出b的值，就可得到椭圆的标准方程，(2)根据条件分别解出A，P点坐标，就可写出直线PA的方程，(3)先根据直线AB垂直x轴的特殊情况下探求yM，yN的值，再利用点共线及点在椭圆上条件，逐步消元，直到定值．本题难点在如何利用条件消去参数．点共线可得到坐标关系，而利用点差法得到斜率关系是解决本题的关键．[解]　(1)由题意，得2a＝＋＝4，即a＝2，又c

3、＝1，∴b2＝3，∴椭圆C的标准方程为＋＝1.(2)∵B，∴P，又F(1，0)，∴kAB＝，∴直线AB：y＝(x－1)，联立方程组解得A(0，－)，∴直线PA：y＝－x－，即x＋4y＋4＝0.(3)当kAB不存在时，易得yMyN＝－9，当kAB存在时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P(－x2，－y2)，∴＋＝1，＋＝1，两式相减，得＝－，∴＝－＝kPA·kAB，令kAB＝k＝，则kPA＝－，∴直线PA方程：y＋y2＝－(x＋x2)，∴yM＝－(x2＋4)－y2，∴yM＝－－y2，∴直线PB方程：y＝·x，∴yN＝，∴yMyN＝－3×－，又∵＋＝

4、1，∴4y＝12－3x，∴yMyN＝－3×＝－9，所以yMyN为定值－9.,【通关锦囊】　(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助求根公式，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．(3)弦长问题．利用根与系数的关系、弦长公式求解．(4)中点弦或弦的中点．一般利用点差法求解，注意判直线与方程是否相交．(5)与向量结合的问题，通常利用向量的坐标运算即可．【变式训练3】　(2013·天津高考)设椭圆＋＝1(a>b>0)的左

5、焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.(1)求椭圆的方程；(2)设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若·＋·＝8，求k的值．[解]　(1)设F(－c,0)，由＝，知a＝c.过点F且与x轴垂直的直线为x＝－c，代入椭圆方程有＋＝1，解得y＝±，于是＝，解得b＝，则b2＝2又因为a2－c2＝b2，从而a2＝3，c2＝1，所以所求椭圆的方程为＋＝1.(2)设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，由F(－1,0)得直线CD的方程为y＝k(x＋1)，由方程组消去y，得(2＋3k2)x2＋6k2x＋

6、3k2－6＝0.根据根与系数的关系知x1＋x2＝－，x1x2＝.因为A(－，0)，B(，0)，所以·＋·＝(x1＋，y1)·(－x2，－y2)＋(x2＋，y2)·(－x1，－y1)＝6－2x1x2－2y1y2＝6－2x1x2－2k2(x1＋1)(x2＋1)＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2＝6＋.由已知得6＋＝8，解得k＝±.掌握1条规律　椭圆焦点位置与x2，y2系数之间的关系给出椭圆方程＋＝1时，椭圆的焦点在x轴上⇔m>n>0；椭圆的焦点在y轴上⇔0

7、b2的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程．　2.待定系数法：设出椭圆的标准方程，运用方程思想求出a2，b2.掌握3种技巧　与椭圆性质、方程相关的三种技巧1．求椭圆离心率e时，只要求出a，b，c的一个齐次方程，再结合b2＝a2－c2就可求得e(0＜e＜1)．　2.待定系数法求椭圆方程，应首先判定是否为标准方程，判断的依据是：(1)中心是否在原点；(2)对称轴是否为坐标轴．若题目涉及直线与椭圆相交，注意整体代入、设而不求的思想方法运用．　3.椭圆上任意一点M到焦点F的最大距离为a＋c，最小距离为a－c.规范解答之11直线与椭圆的综合问题(14分)(2014

8、·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆＋＝1(a>b>