2003-2013数二考研线性代数真题及答案合集.pdf

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1、考研数学二(2003-2013)线性代数历年真题及答案汇总20137．设Ａ，Ｂ，Ｃ均为n阶矩阵，若ＡＢ＝Ｃ，且Ｂ可逆，则()（A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价．（B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价．（C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价．（D）矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价．1a12008．矩阵aba与矩阵0b0相似的充分必要条件是()1a1000（A）a=0,b=2（B）a=0，b为任意常数（C）a=2,b=0（D）a=2，b为任意常数

2、14．设A=(a)是三阶非零矩阵，A为其行列式，A为元素a的代数余子式，且满足ijijijA+a=0(i,j=1,2,3)，则A=．ijij22．本题满分11分）1a01设A=,B=，问当a,b为何值时，存在矩阵C，使得AC−CA=B，并求出101b所有矩阵C．22．本题满分11分）1a01设A=,B=，问当a,b为何值时，存在矩阵C，使得AC−CA=B，并求出101b所有矩阵C．23（本题满分11分）22设二次型f(x,x,x)=2(ax+ax

3、+ax)+(bx+bx+bx)．记123112233112233a1b1α=a2,β=b2．ab33TT（1）证明二次型f对应的矩阵为2αα+ββ；22（2）若α,β正交且为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y+y．122012001−1(7)设α=0,α=1,α=−1,α=1,其中cccc,,,为任意常数，则下列12341234cccc1234向量组线性相关的为()(A)α,,αα(

4、B)α,,αα(C)α,,αα(D)α,,αα123124134234100−1(8)设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且PAP=010.若P=(α,,αα)，123002−1Q=(α1+α223,,αα)则QAQ=()100100200200(A)020(B)010(C)010(D)020001002002001*(14)设A为3阶矩阵，A=3，A为A伴随矩阵，若交换A的第1行与第2行得矩阵B，则*BA=.(

5、22)(本题满分11分)1a00101a0−1设A=，β=001a0a0010(I)计算行列式A；(II)当实数a为何值时，方程组Ax=β有无穷多解，并求其通解.(23)(本题满分11分)101011已知A=，二次型fxxx(,,)=xAAxTT()的秩为2，123−10a01a−(I)求实数a的值；(II)求正交变换x=Qy将f化为标准形.2011（7）设A为3阶矩阵，将A的第2列加到第1列得矩阵B，再交换B的第2行与第3行100

6、100得单位矩阵。记P1=110，P2=001，则A=（）001010−1−1（A）PP（B）PP（C）PP（D）PP12122121*T（8）设A=(α,α,α,α)是4阶矩阵，A为A的伴随矩阵。若(1,0,1,0)是方程组Ax=01234*的一个基础解系，则Ax=0的基础解系可为（）（A）α,α（B）α,α（C）α,α,α（D）α,α,α1312123234222（14）二次型f(x,x,x)=x+3x+x+2xx+2xx+2xx，则f的正惯性指数123123121323

7、为。（22）（本题满分11分）TTTT设向量组α=(1,0,1)，α=(0,1,1)，α=(1,3,5)不能由向量组β=(1,1,1)，1231TTβ=(1,2,3)，β=(3,4,a)线性表示。23（I）求a的值；（II）将β,β,β用α,α,α线性表示。123123（23）（本题满分11分）11−11设A为3阶实对称矩阵，A的秩为2，且A00=00。−1111（I）求A的所有的特征值与特征向量；（II）求矩阵A。20107.设向量组I:α,α,…，αII：β，β，…

8、，β线性表示，下列命题正确的是：12r可由向量组12sA若向量组I线性无关，则r≤sB若向量组I线性相关，则r>sC若向量组II线性无关，则r≤sD若向量组II线性相关，则r>s28设A为4阶对称矩阵,且AA+=0,若A的秩为3,则A相似于111−111−1−1ABCD1−1−1−10000−1−114设