《成才之路》高一数学（人教a）必修能力提升：平面向量基本定理

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1、能力提升一、选择题1．在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，其中a、b不共线，则四边形ABCD为(　　)A．平行四边形B．矩形C．梯形D．菱形[答案]　C[解析]　∵＝＋＋＝a＋2b－4a－b－5a－3b＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2，即＝2，∴AD∥BC且AD≠BC，故选C.2．已知＝a，＝b，C为线段AB上距A较近的一个三等分点，D为线段CB上距C较近的一个三等分点，则用a、b表示为(　　)A.(4a＋5b)B.(9a＋7b)C.(2a＋b)D.(3a＋b)[答案]　A[解析]　利用向量加法和减法的几何意义和平面向量基本定

2、理求解．∵＝＋，＝＋＝＋＝＋＝.而＝b－a，∴＝b－a，∴＝＋＝a＋(b－a)＝a＋b.3．如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若＝a，＝b，则＝(　　)A.a＋bB.a＋bC.a＋bD.a＋b[答案]　D[解析]　∵＝＋＝a＋＝a＋(b－a)＝a＋b.4．已知△ABC中，点D在BC边上，且＝2，＝r＋s，则r＋s的值是(　　)A.B.C．－3D．0[答案]　D[解析]　∵＝＝(－)∴r＝　s＝－∴r＋s＝0.5．(09·全国Ⅰ文)设非零向量a、b、c满足

3、a

4、＝

5、b

6、＝

7、c

8、，a＋b＝c，

9、则a与b的夹角为(　　)A．150°B．120°C．60°D．30°[答案]　B[解析]　∵

10、a

11、＝

12、b

13、＝

14、c

15、≠0，且a＋b＝c∴如图所示就是符合题设条件的向量，易知OACB是菱形，△OBC和△OAC都是等边三角形．∴a与b的夹角为120°.6．(2011～2012·合肥市)如图，△ABC中，AD＝DB，AE＝EC，CD与BE交于F，设＝a，＝b，＝xa＋yb，则(x，y)为(　　)A.B.C.D.[答案]　C[解析]　设＝λ，∵E、D分别为AC、AB的中点，∴＝＋＝－a＋b，＝＋＝(b－a)＋λ(a－b)＝a＋(1－λ)b，∵与共线，∴＝，∴λ＝，∴

16、＝＋＝b＋＝b＋＝a＋b，故x＝，y＝.二、填空题7．向量a与b的夹角为25°，则2a与－b的夹角θ＝________.[答案]　155°[解析]　作＝a，＝b，则∠AOB＝25°，如图所示．延长OA到C，使OA＝AC，则＝2a.延长BO到D，使OD＝BO，则＝－b.则θ＝∠DOA，又∠DOA＋∠AOB＝180°，则∠DOA＝180°－25°＝155°，则θ＝155°.8．已知e1、e2是两个不共线的向量，而a＝k2e1＋(1－k)e2与b＝2e1＋3e2是两个共线向量，则实数k＝________.[答案]　－2或[解析]　由题设知＝，∴3k2＋5k－2＝

17、0.解得k＝－2或.9．已知向量a和向量b不共线，且m＋n＝a，m－n＝b，则m＝________，n＝________.(用a、b表示)[答案]　　[解析]　解方程组得m＝，n＝三、解答题10．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，M、N分别是DC和AB的中点，若＝a，＝b，试用a、b表示、，.[解析]　如图所示，连接CN，则四边形ANCD是平行四边形．则＝＝＝a，＝－＝－＝b－a，＝－＝－－＝－－＝a－b.11．已知

18、a

19、＝

20、b

21、＝2，且a与b的夹角为120°，求a＋b与a的夹角，a－b与a的夹角．[解析]　如图，作＝a，＝b，且∠AOB＝

22、120°，以OA，OB为邻边作▱OACB，则＝＋＝a＋b，＝－＝a－b，＝＝a.因为

23、a

24、＝

25、b

26、＝2，所以△OAB为等腰三角形，所以∠OAB＝30°即a－b与a的夹角为30°.因为

27、a

28、＝

29、b

30、，所以平行四边形OACB为菱形，所以OC⊥AB，所以∠COA＝60°，即a＋b与a的夹角为60°.12．设M、N、P是△ABC三边上的点，它们使＝，＝，＝，若＝a，＝b，试用a、b将、、表示出来．[解析]　如图，＝－＝－－＝－－(－)＝－＝b－a.同理可得＝a－b，＝－＝－(＋)＝a＋b.