非线性方程数值解法-计算物理学

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1、第四讲：（2）非线性方程数值解法在实际物理问题中，例如如何知道热平衡时的温度，力平衡时的力的大小等平衡量，需要求解平衡方程。对于不能解析求解的代数方程就需要数值求解。本讲只讨论单变量的代数方程（4.2-1）为了求解满足方程的变量，即方程的根，有时需要用图示的方法大体了解解的位置。下面介绍几种求方程（4.2.1）根的方法。4.2.1二分法（BisectionMethod）方程根附近的性质是要改变符号，一般来说，如果在区间是连续的实函数，并且和有相反的符号，即（4.2-2）那么在区间内至少有一个实根。一般采用增量搜寻的方法来确定函数变号的间隔，例如；然后将这个间隔分成更小的许多子间隔来

2、确定函数变号的位置（即根）。怎样再细分间隔，通常采用的一种方法是对分区间套的方法，即二分法。二分法求根步骤：①通过满足条件，确定有根区间②估算根：，如果,则为解③做下面的计算，确定根在那个子区间(a)如果，则根在区间，设，返回到②(b)否则，则根在区间，设，返回到②二分法求根示意图39※================================================================※例题4.2-1用二分法计算方程的在区间（1，2）的根。解：计算程序见BISECTION.f90结果为：istep=20,x=1.69460011,dx=0.0.00000

3、096※================================================================※4.2-2弦截法弦截法的基本思想同二分法相同，所不同的是二分法取中点做为试探根，而弦截法用连接点和的弦与轴的交点做为试探根。由图可见，由此可得试探根为（4.2-3）然后将，重复计算（3）式，当相继两次计算的之差满足一定精度时，则得到解。弦截法求根示意图※================================================================※例题4.2-2用弦截法计算方程的在区间（1，2）的根。解：计算程序

4、见SECANT.f9039结果为：istep=5,x=1.69460106,dx=-0.00000012※================================================================※4.2-3不动点迭代法设给定一个非线性方程，在用迭代方法求其实根时，先将它转换成等价方程：(4.2-4)然后构造迭代格式：(4.2-5)对于给定的初始值，若由此生成的迭代序列有极限，记为,则显然是方程(4.2-4)的解，从而也是方程的解。称为迭代函数；由于收敛点满足，故将称为函数的不动点；迭代格式(4.2-4)称为不动点迭代法（或基本迭代法）。在迭代

5、格式(4.2-5)中，仅由前一个迭代值决定，也称该迭代格式为单步法。可以有多种构造迭代函数的方法。迭代函数的不同选择对应不同的迭代法，它们的收敛性有很大的差异。※================================================================※例题4.2-3用迭代法求方程的一个实根解:可以有两种方法构造迭代函数和它们对应的不动点迭代法分别为：①,②,由于,即函数在区间[1,2]上改变符号，且连续，所以区间[1,2]是有根区间。取其中点为初值，，进行迭代，程序为结果为：取迭代公式收敛，不动点，而取迭代公式发散。※============

6、====================================================※判断收敛还是发散的一种方法是做两个曲线的图示方法。例如，迭代公式是：，将方程分成两部分：作图39从(a)和(b)图可以看出：从初始点出发（纵向交曲线，横向交的直线）,可见迭代点向两曲线交点靠近，即估计值接近解，迭代是收敛的；图(c)和(d)结果正相反，迭代是发散的。这里不加证明给出判别方法，当，即曲线的斜率的绝对值小于的斜率时迭代是收敛的。4.2-4非线性方程的牛顿（Newton）迭代Newton迭代法的实质是在方程解的附近，将非线性方程线性化的一种近似方法。设非线性函数是连续

7、可微，是方程的实根，是迭代方法中的某个迭代值。将在根的近似点附近展开成Taylor级数：取其线性部分作为非线性方程的近似方程，即：(4.2-6)39若，则记线性方程(4.2-6)的解为，将（4.2-7）作为根的新近似值的迭代格式。这种方法称为Newton迭代法。Newton迭代法的几何意义是：在迭代过程中，用函数过点的切线作为的近似，并以此切线与x轴的交点作为新的迭代点，见上图。因此牛顿迭代法也称为切线法。※==============================