元次方程组解题方法专题析

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1、一、三元一次方程组之特殊型例1：解方程组分析：方程③是关于x的表达式，通过代入消元法可直接转化为二元一次方程组，因此确定“消x”的目标。解法1：代入法，消x.把③分别代入①、②得解得把y=2代入③，得x=8.∴是原方程组的解.根据方程组的特点，由学生归纳出此类方程组为：类型一：有表达式，用代入法型.针对上例进而分析，方程组中的方程③里缺z,因此利用①、②消z,也能达到消元构成二元一次方程组的目的。解法2：消z.①×5得5x+5y+5z=60④④-②得4x+3y=38⑤由③、⑤得解得把x=8,y=2代入①得z=2.∴是原方程组的解.根据方程组的特

2、点，由学生归纳出此类方程组为：类型二：缺某元，消某元型.例2：解方程组分析：通过观察发现每个方程未知项的系数和相等；每一个未知数的系数之和也相等，即系数和相等。具备这种特征的方程组，我们给它定义为“轮换方程组”，可采取求和作差的方法较简洁地求出此类方程组的解。解：由①+②+③得4x+4y+4z=48，即x+y+z=12.④①-④得x=3，②-④得y=4，③-④得z=5，∴是原方程组的解.典型例题举例：解方程组解：由①+②+③得2(x+y+z)=60，即x+y+z=30.④④-①得z=10，④-②得y=11，④-③得x=9，∴是原方程组的解.根据

3、方程组的特点，由学生归纳出此类方程组为：类型三：轮换方程组，求和作差型.例3：解方程组分析1：观察此方程组的特点是未知项间存在着比例关系，根据以往的经验，学生看见比例式就会想把比例式化成关系式求解，即由x:y=1:2得y=2x；由x:z=1:7得z=7x.从而从形式上转化为三元一次方程组的一般形式，即，根据方程组的特点，学生可选用“有表达式，用代入法”求解。解法1：由①得y=2x，z=7x，并代入②，得x=1.把x=1，代入y=2x，得y=2；把x=1，代入z=7x，得z=7.∴是原方程组的解.分析2：由以往知识可知遇比例式时，可设一份为参数k

4、，因此由方程①x:y:z=1：2：7，可设为x=k,y=2k,z=7k.从而也达到了消元的目的，并把三元通过设参数的形式转化为一元，可谓一举多得。解法2：由①设x=k,y=2k,z=7k，并代入②，得k=1.把k=1，代入x=k，得x=1；把k=1，代入y=2k，得y=2；把k=1，代入z=7k，得z=7.∴是原方程组的解.典型例题举例：解方程组分析1：观察此方程组的特点是方程②、③中未知项间存在着比例关系，由例3的解题经验，学生易选择将比例式化成关系式求解，即由②得x=y；由③得z=.从而利用代入法求解。解法1：略.分析2：受例3解法2的启发

5、，有的学生想使用设参数的方法求解，但如何将②、③转化为x:y:z的形式呢？通过观察发现②、③中都有y项，所以把它作为桥梁，先确定未知项y比值的最小公倍数为15，由②×5得y:x=15:10，由③×3得y:z=15:12,于是得到x:y:z=10:15:12。解法2：由②、③得x:y:z=10:15:12.设x=10k,y=15k,z=12k，并代入①，得k=3.把k=3，代入x=10k，得x=30；把k=3，代入y=15k，得y=45；把k=3，代入z=12k，得z=36.∴是原方程组的解.根据方程组的特点，由学生归纳出此类方程组为：类型四：遇

6、比例式找关系式，遇比设元型.二、三元一次方程组之一般型例4：解方程组分析：对于一般形式的三元一次方程组的求解，应该认清两点：一是确立消元目标——消哪个未知项；二是在消元的过程中三个方程式如何正确的使用，怎么才能做到“目标明确，消元不乱”，为此归纳出：（一）消元的选择1.选择同一个未知项系数相同或互为相反数的那个未知数消元；2.选择同一个未知项系数最小公倍数最小的那个未知数消元。（二）方程式的选择采取用不同符号标明所用方程，体现出两次消元的过程选择。解：（明确消z，并在方程组中体现出来——画线）①+③得5x+2y=16，④(体现第一次使用在①③后

7、做记号√)②+③得3x+4y=18，⑤(体现第二次使用在②③后做不同记号△)由④、⑤得解得把x=2，y=3代人②，得z=1.∴是原方程组的解.典型例题举例：解方程组分析：通过比较发现未知项y的系数的最小公倍数最小，因此确定消y。以方程②作为桥梁使用，达到消元求解的目的。解：②×2得6x－4y+10z=22，④2x+4y+3z=9，①①+④得8x+13z=31.⑤②×3得9x－6y+15z=33，⑥5x－6y+7z=13，③⑥－③得4x+8z=20.x+2z=5.⑦由⑤、⑦得解得把x=-1，z=3代人①，得.∴是原方程组的解.三、三元一次方程组的

8、相关变式题型例五、解方程组解：原方程组可化为由（1）+（3），得（4）由（1）+（2），得（5）由（4）和（5）组成方程组，得解这个方程组，得把代入（