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《数列极限的解法(15种).doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、0.引言在数学分析的学习过程中,极限的思想和方法起着基础性的作用，极限的基本思想自始至终对解决分析学中面临的问题起关键作用，而数列极限又是极限的基础.涉及到数列极限的问题有很多，包括数列极限的求法、给定数列极限存在性的证明等.数列极限的证明和求解是较为常见的一种题型，数列极限反应的是数列变化的趋势，其证明和求解也是数学分析题中的重点，主要原因是其证法与求法没有固定的程序可循，方法多样，技巧性强，涉及知识面较广，因此在数学刊物上常可看到这类文章，但大多是对某一些或某一类数列极限的证明或求解，很少系统地探索数列极限证法和求法的基本技巧和方法.随着社会的快速
2、发展及数学本身的发展,迫切地需要对这些方法进行归纳.当前,有不少文献对数列极限求解方法做了一些探讨,如文献[1]-[10],但是方法的应用举例较少,不全面.在高等数学竞赛及研究生入学考试中,数列极限求解方法是经常出现的一种题型.这些都说明:数列极限求解方法是一个重要的研究课题.本文作者将对有关数列极限求解的方法做比较全面系统的归纳,同时举例进行说明.本文归纳了十五种方法.1.定义法：设为数列，为定数，若对任给的正数，总存在正数N，使得当时，有，则称数列收敛于.记作：.否则称为发散数列.例1.求证其中.证：当时，结论显然成立.当时，记，则，由得，任给，则
3、当时，就有，即即当综上，例2.求解：<2.利用柯西收敛准则柯西收敛准则：数列收敛的充要条件是：正整数，使得当时，有.例3.证明：数列为收敛数列.证，取，当时，有由柯西收敛准则，数列收敛.例4.（有界变差数列收敛定理）若数列满足条件，则称为有界变差数列，试证：有界变差数列一定收敛证：令那么单调递增，由已知知有界，故收敛，从而正整数，使得当时，有此即由柯西收敛准则，数列收敛.注：柯西收敛准则把定义中的与a的关系换成了与的关系，其优点在于无需借用数列以外的数a只需根据数列本身的特征就可鉴别其敛散性.3．运用单调有界定理单调有界定理：在实数系中，有界的单调数列
4、必有极.例5.证明数列（n个根式,a>0,n=1,2,）极限存在，并求.证：由假设知（1）用数学归纳法易证：此即证单调递增.用数学归纳法可证，事实上，由（1）（2）证得单调递增有上界，从而存在，对（1）式两边取极限得,解得和（舍去）.4．利用迫敛性准则（即两边夹法）迫敛性：设数列都以为极限，数列满足：存在正数N，当n>N时，有，则数列收敛，且.例6.求解：记，则由迫敛性得=.注：迫敛性在求数列极限中应用广泛，常与其他各种方法综合使用，起着基础性的作用.5．利用定积分的定义计算极限黎曼积分定义：设为定义在上的一个函数，J为一个确定的数，若对任给的正数，总
5、存在某一正数，使得对的任意分割T,以及在其上任意选取的点集,只要T<，就有，则称函数在上（黎曼）可积，数J为在上的定积分，记作.例7.解：原式===例8.求解：因为又=同理由迫敛性得=.注：数列极限为“有无穷多项无穷小的和的数列极限，且每项的形式很规范”这一类型问题时，可以考虑能否将极限看作是一个特殊的函数定积分的定义.部分相关的数列极限直接利用积分定义可能比较困难，这时需要综合运用迫敛性准则等方法进行讨论。6．利用（海涅）归结原则求数列极限归结原则：对任何，有例9.求解：==1例10.计算解：一方面，另一方面，由归结原则（取）由迫敛性得=注：数列是一
6、种特殊的函数，而函数又具有连续、可导、可微、可积等优良性质，有时我们可以借助函数的这些优良性质将数列极限转化为函数极限，从而使问题得到简化和解决.7．利用施笃兹（）定理求数列极限定理1：型：若是严格递增的正无穷大数列，它与数列一起满足，则有.其中为有限数，或+，或-.定理2：型：若是严格递减的趋向于零的数列，时且，则有.其中为有限数，或+，或-.例11.求极限.解：令则由定理1得==此题亦可由方法五（即定积分定义）求得，也较为简便，此略.例12.设求解：令，则单增，于是由定理2得=====.注：Stolz定理是一种简便的求极限方法，特别对分子、分母为求
7、和型，利用Stolz定理有很大的优越性.它可以说是求数列极限的洛必达（LHospita）法则.8．利用级数求和求数列极限。由于数列与级数在形式上的统一性，有时数列极限的计算可以转化为级数求和，从而通过级数求和的知识使问题得到解决.例13.求，（a>1）解：令，则，考虑级数.，∴此级数收敛.令=，再令=，∵∴==而因此，原式=.9．利用级数收敛性判断极限存在。由于级数与数列在形式上可以相互转化，使得级数与数列的性质有了内在的密切联系．因此．数列极限的存在性及极限值问题，可转化为研究级数收敛性问题．例14.设，...(1),证明数列收敛，并求极限证：∵，可
8、得令则，，考虑级数，由于==所以级数收敛，从而收敛.令=，∵存在∴存在对（1）式两边取极限有，
