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静力学习题及解答—静力学基础 第 1 周习题为 1.2~1.9; 1.10~1.12 为选作。 rFrF?=? 21 ,或者由rFrF×=× 21 ,不能断定 21 FF =。 1.1 举例说明由 0 21 =?=?rFrF 21 FF解:若与都与 1 F 2 Fr垂直,则,但显然不能断定=; 若与都与 1 F 2 Fr平行,则0 21 =×=×rFrF,也不能断定 21 FF =; 四川大学 建筑与环境学院 力学科学与工程系 魏泳涛 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 静力学习题及解答—静力学基础 四川大学 建筑与环境学院 力学科学与工程系 魏泳涛 1.2 给定力)32(3kjiF++?=)6, 4, 3,其作用点的坐标为(???。已知轴上的 单位矢量 OE )( 3 3 kjie++=,试求力F在OE轴上的投影以及对OE轴之矩。 解:力F在OE轴上的投影 4321)( 3 3 )32(3=++?=++?++?=?=kjikjieF OE F 力F对坐标原点O之矩 )1015(3 33323 643)(kj kji Fm?= ? ???= O 根据力系关系定理,力F对OE轴之矩 51015)( 3 3 )1015(3)()(=?=++??=?=kjikjeFmF OOE m 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 静力学习题及解答—静力学基础 四川大学 建筑与环境学院 力学科学与工程系 魏泳涛 1.3 长方体的长、宽和高分别为cm8=a、cm4=b、cm3=h,力和分别作 用于棱角 1 F 2 F A和B,方向如图示,且N10 1 =F,N5 2 =F。试求在图示各坐标轴 上的投影和对各坐标轴之矩。 1 F 2 F 解:力在坐标轴上的投影 1 F 8.48NN 89 80 1 222 1 ≈= ++ =F hba a F x N24 . 4 N 89 40 1 222 1 ?≈ ? = ++ ? =F hba b F y N18. 3N 89 30 1 222 1 ≈= ++ =F hba h F z 力在坐标轴上的投影 2 F 0 2 = x F N4 2 22 2 = + =F hb b F y N3 2 22 2 = + ? =F hb h F z 2 F ) 3 , 0 , 8(), 0 ,=ha 2 F力作用线上的B点坐标为(,则对坐标原点之矩为 O cmN)322412( 340 308)( 2 ?++?= ? =kji kji FmO 2 F cmN12)( 2 根据力系关系定理,对各坐标轴之矩为 ??=F x mcmN24)( 2 ,cmN32)( 2 ?=F z m ?=F y m, 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 静力学习题及解答—静力学基础 1.4 轴AB在平面内, 与铅锤的AyzAz轴成α角。 悬臂CD垂直地固定在AB轴上, 与平面成Ayzθ角,如图所示。如在D点作用铅直向下的力。并设 P FaCD =, hAC =,试求力对 P FA点之矩及对AB轴之矩。 解:由于力平行于 P Fz轴,所以,0 PP == yx FF PP FF z ?=, , 0)( PPP =?= yxz yFxFm F )( P F x m和只与)( P F y mD的x及y坐标有关。 D的x坐标:θsina; D的y坐标:αθαcoscossinah+; P F对x轴之矩:)coscossin()( PP αθαahFmx+?=F; P F对y轴之矩:θsin)( PP aFmy=F; 所以对点 P FA之矩为:jFiFFm)()()( PPPyxA mm+= )cos(sinkjeαα+=轴AB的方向向量: 于是得到对轴 P FAB之矩:αθsinsin)()( PPP aFm AAB =?=eFmF 四川大学 建筑与环境学院 力学科学与工程系 魏泳涛 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 静力学习题及解答—静力学基础 1.5 正三棱柱OABCDE的高为cm210,底面正三角形的边长为。大小为 的力作用于棱角 cm10 N10 P FD,力的作用线沿侧面的对角线DB,如图示。设沿图示 各坐标轴的基矢量为 、和,试求力的矢量表示,以及力对点之矩 和对轴之矩。 ijk P F P FO CE 解:D点坐标: 四川大学 建筑与环境学院 力学科学与工程系 魏泳涛 )0 ,10,210(;B点坐标:)35 , 5 , 0(; ) 2 1 , 6 3 , 3 6 (??= DB n矢量DB的单位矢量:; N )5 3 35 3 610 ( PP kjinF+??== DB F所以力的矢量表示为: P F P F对O点之矩(取点B为作用点) P F cmN )6 3 50 25050( 5 3 35 3 610 3550)( P ?+?= ?? =kji kji FmO P F 而对C点之矩(取点D为作用点) P F cmN )6 3 100 50( 5 3 35 3 610 )( P ?+= ?? ???=ki kji Fm CDCDCDC zzyyxx P F 而对CE轴之矩: cmN 250 ) 2 3 2 1 ()6 3 100 50()()( PP ?= +?+=?=kjkinFmF CECCE m 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 静力学习题及解答—静力学基础 四川大学 建筑与环境学院 力学科学与工程系 魏泳涛 1.6单位矢量分别为和的两相交轴的夹角为 1 e 2 eθ,处于两轴所在平面内的力F 在这两轴上的投影分别为和,试求力 1 F 2 FF的矢量表示。 解法1:构建两个正交的单位矢量,并用此二矢量来表达力F。 由题意知, 11 F=?eF, 22 F=?eF。 若令ie= 1 ,则问题的关键在于寻求与 垂直的单位矢量。 ij 定义矢量 j′ : 121122 cos)(eeeeeejθ?=??=′,即图中的黑色矢量。显然有: j′ 0coscos)cos( 121 =?=??=′?θθθeeeji,及与(或)垂直。 1 ei 定义为j j′ 的归一化矢量: θ θ sin cos 12 ee j j j ? = ′ ′ =,(注意图中的几何关系) 于是得到力F在两正交方向上的投影: 11 FFi=?=?=eFiF θ θ θ θ sin cos sin cos 1212 FF Fj ? = ? ?=?= ee FjF 最终,力F的矢量表示为 2 2 12 1 2 21 2 1212 11 sin cos sin cos sin )cos)(cos( ee ee ejiF θ θ θ θ θ θθFFFFFF FFF ji ? + ? = ?? +=+= 解法2:也可将力F通过e和e方向上的两个分力来表示,如图 12 根据几何关系,有: 243 143 cos cos F F =+ =+ FF FF θ θ 联立求解后,得: θ θ θ θ 2 12 4 2 21 3 sin cos sin cosFFFF? = ? =FF 因此,力F的矢量表示为 2 2 12 1 2 21 2413 sin cos sin cos eeeFeFF θ θ θ θFFFF? + ? =+= 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 静力学习题及解答—静力学基础 1.7给定三力:kjiF543 1 ++=,作用点为;F) 1 , 2 , 0(kji622 2 ?+?=,作用点为 )4 , 1, 1 ( ?;kjiF23 3 +??=,作用点为。试求力系的主矢,及其对坐标原点 的主矩。 ) 1 , 3 , 2( O 解:主矢kjFF+==∑ ′ 3 iR 主矩kji kjikjikji M9413 231 132 622 411 543 120??= ?? + ?? ?+= O 四川大学 建筑与环境学院 力学科学与工程系 魏泳涛 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 静力学习题及解答—静力学基础 四川大学 建筑与环境学院 力学科学与工程系 魏泳涛 1.8如图所示,已知aOBOA==,aOC3=,力、和的大小均等于。 试求力系的主矢,及其对坐标原点的主矩。 1 F 2 F 3 F P F O 解: 1 F的矢量为:) 2 2 2 2 ( P ji +?F; ) 2 3 2 1 ( P kj +?F 2 F的矢量为:; ) 2 3 2 1 ( P ki ?F 3 F的矢量为:; )( 2 21 jiFF? ? ==∑ ′iR 力系的主矢 )233( 2 2 3 0 2 1 300 2 3 2 1 0 00 0 2 2 2 2 00 P PP PPPP kji kjikjikji M ++= ? + ? + ? = aF FF a FF a FF a O 主矩 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 静力学习题及解答—静力学基础 四川大学 建筑与环境学院 力学科学与工程系 魏泳涛 1.9如图所示,已知aOCOBOA===, P321 FFFF===。试求力系的主矢,及 其对坐标原点的主矩。 O 解: 1 F的矢量为:) 2 2 2 2 ( P ji +?F; 2 F的矢量为:) 2 2 2 2 ( P kj +?F; ) 2 2 2 2 ( P ki ?F 0== 3 F的矢量为:; ∑′iR FF 力系的主矢 )( 2 2 2 2 0 2 2 00 2 2 2 2 0 00 0 2 2 2 2 00 P PPPPPP kji kjikjikji M ++= ++ ? = aF FF a FF a FF a O 主矩 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 静力学习题及解答—静力学基础 四川大学 建筑与环境学院 力学科学与工程系 魏泳涛 1.10证明:任意给定力系对空间任意两点的主矩在这两点连线上的投影彼此相 等。 证明: 如图,任取两点A、B,力对其矢径分别为和。对 i F Ai r Bi rA和B点主矩分 别为 ∑ ×= i iAiA FrM; ∑ ×= i iBiB FrM 注意到 BiABAi rrr+= 由于 ∑ × i iAB Fr与和 AB r ∑ i i F都垂直,因此有 ABBABB i iABABA rMrMFrrM?=?+×=? ∑ )( 由此得证。 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 静力学习题及解答—静力学基础 1.11证明:力系的主矢和主矩的标积是一个与矩心位置无关的常数。 ∑ × i iAB Fr与∑ i i F垂直,因此有 证明:接上题,由于 ∑∑∑∑ ?=?+×=? i iB i iB i iAB i iA FMFMFrFM)( 所以A、B的任意性,可知力系的主矢与主矩之标级与矩心为之无关。 四川大学 建筑与环境学院 力学科学与工程系 魏泳涛 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 静力学习题及解答—静力学基础 四川大学 建筑与环境学院 力学科学与工程系 魏泳涛 1.12试证明三力平衡汇交定理:刚体受不平行三力作用而平衡时,此三力的作用 线必汇交于一点(提示:首先证明此三力共面) 证明:设三力为、和,由于三力平衡,因此该力系的主矢为零,主 矩也为零。 1 F 2 F 3 F 1 FF?=′′ R 考察和构成的子力系,显然,该子力系的主矢为 2 F 3 F,对力作 用线上任意点 1 F A的主矩0=′ A M。 再考察该子力系对力作用线上任意点 2 FB的主矩:)( 3 FmM BB =′,即,该 子力系对点B的主矩就是力对 3 FB之矩。 根据题1.11的结论,有 13) (0FFmFMFM??=′?′=′?′= BRBRA 即,对 3 FB之矩与垂直。显然,位于点 1 F 3 FB与作用线确定的平面内,也即 与共面。同理,与共面。即刚体受不平行三力作用而平衡时,此三力 的作用线必共面。 1 F 3 F 1 F 2 F 1 F 如图,设和交于点O,则将此二力平移至该点,则和的合力可根 据平行四边形定律确定为作用于点的力。由于、和构成平衡力系, 则和也构成平衡力系。根据二力平衡定理,和共线,即也过点O。 由此得证。 2 F 3 F O R′ F 2 F 3 F R′ F 1 F 2 F 3 F 1 F 1 F R′ F 1 F 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m
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