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1、图书分类号UDCO175Q332密级非密硕士学位论文几类微分系统的摄动解法研究卫丽娟指导教师（姓名，职称）申请学位级别专业名称王晓云副教授理学硕士应用数学论文提交日期论文答辩日期学位授予日期年年年月月月日日日论文评阅人答辩委员会主席2012年4月24日原创性声明本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在指导教师的指导下，独立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法律责任由本人承担。论文作者签名：日期：关于学位论文使用权的
2、说明本人完全了解中北大学有关保管、使用学位论文的规定，其中包括：①学校有权保管、并向有关部门送交学位论文的原件与复印件；②学校可以采用影印、缩印或其它复制手段复制并保存学位论文；③学校可允许学位论文被查阅或借阅；④学校可以学术交流为目的，复制赠送和交换学位论文；⑤学校可以公布学位论文的全部或部分内容（保密学位论文在解密后遵守此规定）。签名：日期：导师签名：日期：中北大学学位论文摘要摄动微分系统是动力系统研究中的重要内容,有很强的实际背景,因此产生了很多应用,引起了众多学者的关注.目前摄动微分系统模型大多数只涉及低阶和低维,而事实上高阶和高维的摄动系统是大量存在于实际应用
3、中的.比如,快慢型动力系统也广泛存在于实际问题中.它的特点是系统分为快状态和慢状态两类,系统的主要特征由慢状态来表现,表现在方程中即是方程的最高阶项乘以远小于1的正的小参数,属于边界层奇异摄动问题.此外,传染病是影响人类健康的重要因素之一.关于传染病的研究,目前人们将其归化为一个反映其基本规律的微分方程模型,然后利用动力学的研究方法来研究其动态的规律.在某些传染病模型中,由于其传染率是远小于1的参数,我们可以将这类含有远小于1的小参数的传染病模型看作是摄动微分系统.因此有关摄动理论及其在快慢系统问题和一类传染病模型中的理论研究和应用有非常重要的意义.摄动理论从动力系统的角度出
4、发,以各种摄动方法为基础进行研究.到目前为止,国内外很多学者对摄动系统和快慢动力系统,传染病模型做了很多研究.本论文在此基础上,主要研究一类高阶奇异摄动系统和快慢型动力系统非局部问题的解法,同时将摄动方法与传染病模型结合做了相关的研究.本论文主要研究以下几个问题:(1)针对一类高阶奇摄动线性边值问题,根据导数项阶数的最高阶与次高阶的阶数之差分情况进行降阶,再利用多重尺度法,根据不同的边界层引入伸长变量构造该边值问题的渐近解,并对此渐近解进行分析,得出了相应的结论.(2)将一般的快慢型动力系统推广到一类非线性快慢系统非局部问题.首先在适当地条件下,利用摄动理论中的多重尺度法,根
5、据不同的边界层引入伸长变量和幂级数展开理论,构造了问题的形式渐近解,证明了解的存在性,再利用微分不等式理论在整个区间上证明了形式渐近解的一致有效性.(3)尝试将摄动理论与SEIR传染病模型相结合.首先从传染病动力学研究方向对此模型进行了分析,然后利用摄动方法中的正则摄动法对此模型构造了形式渐近解,再利用微分不等式理论证明了此解的存在性和有效性.最后将利用两种方法得出的模型结果进行数值仿真,并对仿真结果进行了分析与比较,验证了摄动方法在该模型中的可行性.第I页中北大学学位论文本文利用摄动方法,微分不等式,幂级数理论以及边界层理论等研究了三类摄动模型的求解方法.其中第二章根据已有
6、的低阶奇摄动模型建立了高阶奇异摄动边值问题,第三章在一般的快慢系统基础上考虑了非局部问题,第四章将一类传染病模型与摄动结合,在动力学分析的基础上,利用摄动的方法对模型进行了分析,证明了该解法的可行性和合理性,为今后一类传染病模型的分析提供了理论依据.关键词：摄动方法,高阶,快慢系统,SEIR模型,边值问题,形式渐近解第II页中北大学学位论文ABSTRACTPerturbeddifferentialsystemswidelyexistinpracticalproblems,thereisastrongprac-ticalbackground,resultinginalotofap
7、plications,hasarousedtheconcernofmanyscholars.Atpresent,mostoftheperturbeddifferentialsystemmodelinvolvesonlylow-orderandlow-dimensional,andinfacttherearelotsofthehigh-orderandhigh-dimensionalperturbedsystemsinpracticalapplications.Forexample,fast-slowsys
