激光原理第二章答案

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1、激光原理第六版天津理工大学理学院第二章开放式光腔与高斯光束1.证明如图2.1所示傍轴光线进入平面介质界面的光线变换矩阵为。证明：设入射光线坐标参数为，出射光线坐标参数为，根据几何关系可知傍轴光线则，写成矩阵形式得证2.证明光线通过图2.2所示厚度为d的平行平面介质的光线变换矩阵为。证明：设入射光线坐标参数为，出射光线坐标参数为，入射光线首先经界面1折射，然后在介质2中自由传播横向距离d，最后经界面2折射后出射。根据1题的结论和自由传播的光线变换矩阵可得化简后得证。3．试利用往返矩阵证明共焦腔为稳定腔，即任意傍轴光线在其中可以往返无限多次，而且两次往返即自行闭合

2、。证：设光线在球面镜腔内的往返情况如下图所示：14激光原理第六版天津理工大学理学院其往返矩阵为：由于是共焦腔，则有将上式代入计算得往返矩阵可以看出，光线在腔内往返两次的变换矩阵为单位阵，所以光线两次往返即自行闭合。于是光线在腔内往返任意多次均不会溢出腔外，所以共焦腔为稳定腔。4.试求平凹、双凹、凹凸共轴球面镜腔的稳定性条件。解：共轴球面腔稳定性条件其中对平凹共轴球面镜腔有则，再根据稳定性条件可得。对双凹共轴球面腔有，则根据稳定性条件可得。对凹凸共轴球面镜腔有，则根据稳定性条件可得。14激光原理第六版天津理工大学理学院5.激光器的谐振腔由一面曲率半径为1m的凸面

3、镜和曲率半径为2m的凹面镜组成，工作物质长0.5m，其折射率为1.52，求腔长L在什么范围内是稳定腔。解：设两腔镜和的曲率半径分别为和，工作物质长，折射率当腔内放入工作物质时,稳定性条件中的腔长应做等效,设工作物质长为,工作物质左右两边剩余的腔长分别为和，则。设此时的等效腔长为，则光在腔先经历自由传播横向距离，然后在工作物质左侧面折射，接着在工作物质中自由传播横向距离，再在工作物质右侧面折射，最后再自由传播横向距离，则所以等效腔长等于再利用稳定性条件由(1)解出则所以得到：6.图2.3所示三镜环形腔，已知，试画出其等效透镜序列图，并求球面镜的曲率半径R在什么范

4、围内该腔是稳定腔。图示环形腔为非共轴球面镜腔。在这种情况下，对于在由光轴组成的平面内传输的子午光线，式(2.2.7)中的，对于在与此垂直的平面内传输的弧矢光线，，为光轴与球面镜法线的夹角。14激光原理第六版天津理工大学理学院图2.1解：稳定条件左边有所以有对子午线：对弧矢线：对子午线和弧矢光线分别代入上述不等式得子午光线弧矢光线任意光线需同时满足子午线与弧矢线的条件得14激光原理第六版天津理工大学理学院7.有一方形孔径的共焦腔氦氖激光器，L=30cm，方形孔边长，，镜的反射率为，其他的损耗以每程0.003估计。此激光器能否作单模运转？如果想在共焦镜面附近加一个

5、方形小孔阑来选择模，小孔的边长应为多大？试根据图2.5.5作一个大略的估计。氦氖增益由公式估算（为放电管长度，假设）解：模为第一高阶横模，并且假定和模的小信号增益系数相同，用表示。要实现单模运转，必须同时满足下面两个关系式根据已知条件求出腔的菲涅耳数由图2.5.5可查得和模的单程衍射损耗为氦氖增益由公式计算。代入已知条件有。将、、、和的值代入I、II式，两式的左端均近似等于1.05，由此可见式II的条件不能满足，因此该激光器不能作单模运转。为了获得基模振荡，在共焦镜面附近加一个方形小孔阑来增加衍射损耗。若满足II式的条件，则要求根据图2.5.5可以查出对应于的

6、腔菲涅耳数由菲涅耳数的定义可以算出相应的小孔阑的边长同理利满足I式的条件可得14激光原理第六版天津理工大学理学院因此，只要选择小孔阑的边长满足即可实现模单模振荡。8．试求出方形镜共焦腔面上模的节线位置，这些节线是等距分布的吗？解：在厄米-高斯近似下，共焦腔面上的模的场分布可以写成令，则I式可以写成式中为厄米多项式，其值为由于厄米多项式的零点就是场的节点位置，于是令，得考虑到，于是可以得到镜面上的节点位置所以，模在腔面上有三条节线，其x坐标位置分别在0和处，节线之间位置是等间距分布的，其间距为；而沿y方向没有节线分布。9.求圆形镜共焦腔和模在镜面上光斑的节线位置

7、。解：在拉盖尔—高斯近似下，可以写成如下的形式对于，两个三角函数因子可以任意选择，但是当m为零时，只能选余弦，否则无意义对于：并且，代入上式，得到14激光原理第六版天津理工大学理学院，取余弦项，根据题中所要求的结果，我们取，就能求出镜面上节线的位置。即同理，对于，，代入上式并使光波场为零，得到显然，只要即满足上式镜面上节线圆的半径分别为：10.今有一球面腔，，，。试证明该腔为稳定腔；求出它的等价共焦腔的参数；在图上画出等价共焦腔的具体位置。解：该球面腔的g参数为由此，，满足谐振腔的稳定性条件，因此，该腔为稳定腔。由稳定腔与共焦腔等价条件14激光原理第六版天津理

8、工大学理学院和可得两反射镜距离等效共焦