数学理解的障碍与对策

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1、数学理解的障碍与对策：数学学习困难大多是由数学知识难以理解引起的。理解是任何学习活动的核心内容，是教育学的一个永恒主题。由于数学知识本身具有很强的抽象性，理解之于数学的学习活动来说尤为重要，正因为这样，对“数学理解”的研究很早就成为世界数学教育界关注的一个重要课题。　　关键词；数学理解；直觉思维；非智力因素　　：G633.6：B：1672-1578（2010）11-0121-04　　　　“理解”是一个难以理解的概念。现代学习心理学认为，“理解”主要是指学生在已有知识基础上建立与新知识相关联的知识X络时的个人心理活动，它

2、是学习者针对一个主题展开一系列引发思考的活动过程，譬如解释说明、寻找证据和具体实例、概括抽象、归纳类比、用新的方式叙述该主题、在新的场景中运用理论和概念等等。　　早在1903年，世界著名的数学家庞加莱在《科学与方法》第一篇第三章中就提出了数学教育中的“庞加莱问题”。因为数学具有起点的直观性、证明的逻辑性和结论的绝对性，属于“最明白的真理之列”，庞加莱认为数学理解障碍的产生是让人无法理解之事。经过一番研究，庞加莱把数学推理为何会出错以及数学为什么难以理解的原因归结为以下四点：①记忆力和注意力较差；②缺乏数学直觉与数学美感

3、；③难以将抽象的数学内容形象化；④缺乏正确的推理技艺。其中，他认为缺乏数学直觉是最根本的原因。　　记忆力和注意力与非智力因素与学习兴趣密切相关。在学习数学的时候，缺乏数学美感的学习者学习兴趣匮乏，注意容易涣散，不谙于抽象思维缺乏数学直觉的学习者记忆较平素更为模糊。如此一来，我们可把数学理解的障碍进一步归结为两种：一是由数学的抽象性造成的理解障碍，二是由缺乏数学直觉、数学美感造成的理解障碍。探究这两种理解障碍的成因，寻求破解障碍的对策，有可能会让我们教育教学中的数学变得更易于理解。一个社会的科学技术发展水平可以用其消耗的

4、数学的量来度量，让数学变得更简单更易于理解，让教育形态下的数学变得更加生动更加优美，才能更好地普及数学文化，让社会大众理解数学使用数学，让更多的人爱数学玩数学发现数学。　　1、由数学的抽象性造成的理解障碍及其对策　　数学是抽象的，数学家让研究对象从实在的状态中摆脱出来变成了抽象的概念和符号之后，在研究领域内依靠逻辑的力量向前推演，把认识从一个较低的起点一步一步地引向遥远的推论，这些推论一般都大大超越了人们日常生活中的经验、常识和现象，对无穷和统一性的关注使其最终结果与现实中直观和具体的形象几乎完全疏离，让学习者日渐迷失

5、在数学符号语言大雾之中。这是由数学的抽象性造成的理解障碍。　　这种理解障碍的形成，主要是因为经过系列的数学推理之后，获得的大都是使用数学符号语言进行叙述的一般性结论，其中，数学符号语言是很抽象的，缺乏学习者所能觉察到的直观，而一般性的结论很笼统，同样也是很抽象的，缺乏学习者所能觉察到的具体。由此，在教学过程中，将那些对学生的认知水平而言显得过于抽象的数学问题进行直观化和具体化的处理，就是克服这种障碍的良策。　　对策之一：将数学问题“直观化”。将数学问题“直观化”，就是将抽象的数学对象转换成实物、图象和图表，将问题中复杂

6、的或陌生的对象转换为属性已能辨识清楚的对象，将所研究的问题变更成一个能一眼洞穿的简单问题。　　我们可用一些感官能直接接受、直接观察的实物比拟所研究的数学对象，如在解决几何点、线、面位置关系问题时，常将这些关系转到周围实物上进行考察，这是最基本的直观化方式。在数学概念难以与实际的事物相联系时，我们也可画出与概念相关联的图象或图表，直观化的图象或图表使得我们在应用这个概念时可通过它们看出与概念有关的变换过程，从而达成理解并加以记忆。解决数学问题时，画张图或图表，将已知标上，往往会让数学问题变成易于理解的简单常识，不仅能让我

7、们更迅速地弄清题意，也有助于解题思路的展开。直观化策略能有效促进数学理解，如引入虚数概念时，如果不将虚数和实数一样地用高斯复平面上直观的点加以表示，不仅会产生理解障碍，就是虚数的存在性也可能被怀疑。　　将数学问题“直观化”的策略的另一个含义是：将问题中复杂的或陌生的对象转换为属性已能辨识清楚的对象，将所研究的问题变更成一个能一眼洞穿的简单问题。　　例如，在处理许多数学应用问题时，经常要将问题归结为属性已能辨识清楚的函数与方程的问题，这种思想方法是直观化策略的应用。　　直观化策略在具体的解题中也极常见，比如，在图（1）中

8、，E，F分别是正四面体ABCD的棱AD，BC的中点，根据异面直线所成角的定义添加图中所示的辅助线，可以求出异面直线BD与EF所成的角，也可以求出异面直线AC和BD所成的角，以及异面直线CE和AF所成角的余弦角，但求解过程缺乏直观，如果将正四面体放置到图（2）所示的点、线、面位置关系更容易辨识清楚的正方体中去，这三个问题都会变得