第八章 经典力学哈密顿理论之二

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1、2.哈密顿原理个质点的力学体系自由度：受个约束后，自由度：设：广义坐标：运动方程是一个二阶微分方程，故有个积分常数，即：我们可以认为，个确定的代表着维空间的一个点，而描写力学体系运动状态积分：由于时间的推移在维空间上描述出一条曲线。（1）哈密顿原理：为了寻求体系的力学规律，可以从相同的端点间提出约束条件所允许的许多条可能的运动轨道，即维空间曲线中，挑选出一条真实的曲线，为此可以采用变分的方法来挑选出唯一一条真实的曲线。保守力体系下由拉格朗日方程推导出哈密顿原理拉格朗日方程：（a）各项乘以（b）对求和（c）沿一条可能的轨道，即维空间

2、中的一条曲线积分，曲线的两个端点和由：因为等时变分，所以，与对易，因此有代入中：第一项因为：选择：所以：保守力体系下的哈密顿原理！式中：称为作用函数！由的运动状态积分代表维空间的一条曲线，时间是曲线的参数。假设，此曲线通过维空间的两个点和，若以代入拉格朗日函数中，然后沿自到对时间积分，则积分有一个确定的值。如果我们沿约束所允许的相邻轨道将拉格朗日函数对时间积分，而由：表示：具有稳定值！因此，哈密顿原理就是应用变分法中稳定值得办法来挑选真实的轨道，并且由此来确定力学系体的运动定律！哈密顿原理的文字描述：保守的、完整的力学体系，在相同

3、的时间内，由某一个初位形转移到另一个已知的位形的一切可能运动中，真实运动的主函数（作用量）具有稳定值，即对于真实运动来讲，作用量的变分为零。哈密顿原理和牛顿运动定律是等价的，并且广泛地被人们用来推导其他原理、定律和方程。我们可以用拉格朗日方程推导哈密顿原理，也可以反过来通过哈密顿原理推导拉格朗日方程。同时，我们也可以通过哈密顿原理推导哈密顿正则方程。甚至牛顿定律也可以认为是哈密顿原理的必然结果。