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1、向量的应用(20131120)讲义(有答案绝对精品)向量作为工具性知识已列入中学教材之中,其应用价值已被广大师生认可。用向量知识解题,方法新颖、运算简捷,是启迪学生思维的有效途径之一。但向量是以几何的形式出现的,给人的感觉是在几何中应用广泛,其实用向量来解决代数中的一些问题也很方便。下面就介绍这方面的应用。1.等式证明证明等式一般说来都要进行繁杂的运算,如果等式具有向量代数某些特征时,应用向量知识较为简单。例1.已知,且x,y,z,a,b,c为非零实数,求证。例2.已知,求证。2.不等式证明例3.设任意实数x,y满足,,求证:3.解有关三角问题例4.已知:。证明:对于任何正整数都有例
2、5、已知向量,,且.若的最小值是,求的值.例6、已知△ABC的顶点坐标为A(1,0),B(5,8),C(7,-4),在边AB上有一点P,其横坐标为4,在边AC上求一点Q,使线段PQ把△ABC分成面积相等的两部分.4.求解无理函数的最值求无理函数最值问题,按常规方法求解具有一定的难度,若能用向量知识解答将会使求解变得容易。首先我们来看几个向量的性质:性质1若,则当且仅当时等式成立性质2,当且仅当a,同向平行时右边等式成立,a,反向平行时左边等式成立。性质3,当且仅当方向相同且两两平行时等式成立。(1)型(同号)例7.求函数的最大值。例8.求函数的最大值。(3)型()例9.求函数的最小值
3、。(4)其它类型例10.设(i=1,2,……,2003)为正实数,且,试求的最小值。例11.已知,求的最小值。5.向量问题的坐标解法例12.四边形ABCD中,若,求。例13.设P为△ABC所在平面内一点,求取最小值时P点的位置。例14、已知同一平面上的向量、、两两所成的角相等,并且
4、
5、=1,
6、
7、=2,
8、
9、=3,求向量++的长度.[例15]如图所示,向量i,j,e1,e2均为单位向量,且i⊥j,e1⊥e2;①用i,j表示e1,e2;②若=xi+yj,且xy=1;=x1e1+y1e2;当θ=时,求关于x1、y1的表达式,并说明方程表达的曲线形状;例8.(本题满分14分)已知向量a、b、c
10、、d,及实数x、y,且
11、a
12、=1,
13、b
14、=1,c=a+(x2-3)b,d=-ya+xb,如果a⊥b,c⊥d,且
15、c
16、≤.(1)求x、y的函数关系式y=f(x)及定义域;(2)(供部分考生选做)判断f(x)的单调性,指出单调区间,并求出函数的最大值、最小值.例9.设向量1,2满足
17、1
18、=2,
19、2
20、=1,且1,2的夹角为60°,若向量2t1+72与1+t2的夹角为锐角,求实数t的取值范围.向量的应用(20131120)作业姓名成绩2.已知a,b,c,且,求证。3.求函数的值域。4.已知x>0,y>0,且x+y=1,求的最大值5.设a,b为不等的正数,求证6.已知x>0,y>0,且x+y=
21、1,求证:。11.求证: 7.已知,求锐角。8.已知向量a、b、c、d,及实数x、y,且
22、a
23、=1,
24、b
25、=1,c=a+(x2-3)b,d=-ya+xb,如果a⊥b,c⊥d,且
26、c
27、≤.(1)求x、y的函数关系式y=f(x)及定义域;(2)(供部分考生选做)判断f(x)的单调性,指出单调区间,并求出函数的最大值、最小值.9.设向量1,2满足
28、1
29、=2,
30、2
31、=1,且1,2的夹角为60°,若向量2t1+72与1+t2的夹角为锐角,求实数t的取值范围.10.P为△ABC所在平面内一点。求证:12.若,,且,其中.(1)用表示;(2)求当时,与所成角的大小.13. 已知为坐标原点,,(,,
32、为常数),若,(1)求关于的函数解析式;(2)若时,的最大值为2,求的值,并指出函数的单调区间.14.已知向量和,,且,求的值.15.设,,,,,与的夹角为,与的夹角为.(1)用表示;(2)若,求的值.18.求函数的最大值。19.(2004湖北)已知为非零的平面向量。甲:,乙:,则()A.甲是乙的充分条件但不是必要条件;B.甲是乙的必要条件但不是充分条件;C.甲是乙的充要条件;D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件;19.(2004浙江)已知平面上三点A、B、C满足,则的值等于___________。向量的应用(20131120)讲义答案向量作为工具性知识已列入中学教材之中,其应
33、用价值已被广大师生认可。用向量知识解题,方法新颖、运算简捷,是启迪学生思维的有效途径之一。但向量是以几何的形式出现的,给人的感觉是在几何中应用广泛,其实用向量来解决代数中的一些问题也很方便。下面就介绍这方面的应用。1.等式证明证明等式一般说来都要进行繁杂的运算,如果等式具有向量代数某些特征时,应用向量知识较为简单。例1.已知,且x,y,z,a,b,c为非零实数,求证。分析:由实数x,y,z与实数a,b,c对应成比例,联想到向量平行,进而联想到向量坐标。解:
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