常 微 分 方 程

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1、常微分方程一、可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程.解法为微分方程的解.例1求解微分方程解分离变量两端积分典型例题齐次方程的微分方程称为齐次方程.2.解法作变量代换代入原式可分离变量的方程1.定义例1求解微分方程微分方程的解为解例2求解微分方程解微分方程的解为一阶线性微分方程的标准形式:上方程称为齐次的.上方程称为非齐次的.一、线性方程例如线性的齐次方程的通解为1.线性齐次方程一阶线性微分方程的解法(使用分离变量法)2.线性非齐次方程常数变易法积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为:对应齐次方程通解非

2、齐次方程特解解例1伯努利方程的标准形式方程为线性微分方程.方程为非线性微分方程.二、伯努利方程解法:需经过变量代换化为线性微分方程.求出通解后，将代入即得代入上式解例解分离变量法得所求通解为整体代换法二阶线性微分方程二阶线性齐次微分方程二阶线性非齐次微分方程n阶线性微分方程线性微分方程的解的结构1.二阶齐次方程解的结构:问题:例如线性无关线性相关特别地:2.二阶非齐次线性方程的解的结构:解的叠加原理二阶常系数齐次线性方程解法-----特征方程法特征方程特征根有两个不相等的实根特征根为得齐次方程的通解为

3、有两个相等的实根得齐次方程的通解为特征根为有一对共轭复根特征根为得齐次方程的通解为定义由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.解特征方程为解得故所求通解为例1解特征方程为解得故所求通解为例2三、n阶常系数齐次线性方程解法特征方程为特征方程的根通解中的对应项注意n次代数方程有n个根,而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项,且每一项各一个任意常数.特征根为故所求通解为解特征方程为例3二阶常系数非齐次线性方程对应齐次方程通解结构解对应齐次方程通解特征方程特征根代入方程,得原方程

4、通解为例例解特征方程特征根对应的齐方的通解为设原方程的特解为由解得故原方程的通解为由即一、一阶常系数齐次线性差分方程的求解二、一阶常系数非齐次线性差分方程的求解一阶常系数线性差分方程一阶常系数齐次线性差分方程的一般形式一阶常系数非齐次线性差分方程的一般形式一、一阶常系数齐次线性差分方程的求解解特征方程特征根解解二、一阶常系数非齐次线性差分方程的求解1.(1)(2)综上讨论解对应齐次方程通解特征方程特征根代入方程,得原方程通解为解对应齐次方程通解代入方程,得解2.解对应齐次方程通解特征方程特征根解对应齐次

5、方程通解特征方程特征根(1)※3.(2)解练习题练习题答案经济应用弹性（1）需求价格弹性