第10讲 一次函数

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1、第10讲一次函数◆考点链接1．理解一次函数的概念，会作一次函数的图象．2．掌握一次函数的性质，并能求解有关实际问题．3．会用待定系数法求一次函数解析式并能求实际问题中的一次函数解析式．◆典例精析【例题1】已知：一次函数的图象经过点（2，1）和点（－1，－3）．（1）求此一次函数的解析式；（2）求此一次函数与x轴、y轴的交点坐标以及该函数图象与两坐标轴所围成的三角形的面积；（3）若一条直线与此一次函数图象相交于（－2，a）点，且与y轴交点的纵坐标是5，求这条直线的解析式；（4）求这两条直线与x轴所围成的三角形面积．

2、解题思路：一般一次函数有两个待定字母k、b．要求解析式，只须将两个独立条件代入，再解方程组即可．凡涉及求两个函数图象的交点坐标时，一般方法是将两个函数的解析式组成方程组，求出方程组的解就求出了交点坐标．函数类中的求面积，往往是把图形化归成底边在坐标轴上的三角形或梯形的和或差去解决．解：（1）y=x－．（2）解方程组．可得直线与x轴交点（，0）、与y轴交点（0，－），所围成的三角形面积为．（3）将（－2，a）代入y=x－中得a=－．由题意得（－2，－），（0，5）在所求直线上．设直线y=kx+b，则，∴x=∴直线解

3、析式为y=x+5．（4）解方程组∴交点（－2，－）．所求面积为．评析：用待定系数法求函数解析式，求直线的交点均与解方程（组）有关，因此必须重视函数与方程之间的关系．【例题2】某电信公司开设了甲、乙两种市内移动通信业务．甲种使用者每月需缴15元月租费，然后每通话1min，再付话费0.3元；乙种使用者不缴月租费，每通话min付话费0.6元．若一个月内通话时间为x（min），甲、乙两种的费用分别为y1和y2元．（1）试分别写出y1、y2与x之间的函数关系式；（2）在同一坐标系内画出y1、y2的图象；（3）根据一个月通话

4、时间，你认为选用哪种通信业务更优惠？解题思路：从实际问题中求解得出函数解析式，往往可以通过列方程的思想进行实施．解：（1）由题意得：y1=0.3x+15（x≥0），y2=0.6x（x≥0）；（2）如图；（3）由图象知：当一个月的通话时间为50min时，两种业务一样优惠．当一个月的通话时间少于50min时，乙种业务更优惠．当一个月的通话时间多于50min时，甲种业务更优惠．评析：函数型应用题，既考查学生阅读理解等基础知识，又考查了学生转化建模的能力，同时还可以用数形结合的思想方法寻求解题途径．【例题3】一次函数y=

5、x+2的图象与x轴、y轴分别交于A、B，以AB为边在第二象限内作等边△ABC．（1）求C点坐标；（2）在第二象限内有一点M（m，1），使S△ABM=S△ABC，求M点坐标．（3）点C′（2，0），在直线AB上是否存在一点P，使△AC′P为等腰三角形？若存在，求P点坐标；若不存在，说明理由．解题思路：此题的显著特点是△ABO是含30°、60°的特殊直角三角形，另外△ABC又是等边三角形，因此CA⊥OA，易知AB=4，S△ABC=·42=4，这样（1）（2）问求解就容易了．（3）问OA=OC′，AC′=4，以AC′为

6、腰，A、C′为顶点，再以AC′为底分三种情况可求出所有满足条件的点P的坐标．解：（1）A（－2，0），B（0，2），AB=4，∠BAO=30°，△ABC是等边三角形，∴CA⊥OA，C坐标（－2，4）．（2）方法一：作MN⊥ON，如图a．∵S四边形MNOB=S△AMN+S△ABM+S△ABO，S=S△ABC=·42=4．∴（1+2）·│m│=·1·│－2－m│+4+·2·2，由题意可知m<0，－2－m>0，∴－m=（－2－m）+4+2，∴m=－5，∴M（－5，1）．方法二：由S△ABM=S△ABC可知直线MC∥AB

7、．（如图a）∴设直线MC的解析式为y=x+b，将C（－2，4）代入得b=6．∴直线MC解析式为y=x+6．当y=1时，x=－，∴M（－5，1）．方法三：如图a连结MO，由S四边形MAOB=S△ABO+S△MBO=S△ABM+S△ABO得m=－5．（3）如图b，AC′=4，以AC′为底时，P1（0，2）即为B点，以AC′为腰，∠A为顶角时，P2（6－2，2），P4（－6－2，－2）；以AC′为腰，∠C′为顶角时，P3（4，6）．评析：抓特征利用面积法，利用两直线平行，利用坐标表示线段的长度，再利用30°、60°的直

8、角三角形的三边关系是解答此题的关键．另外，多角度分析是训练我们思维的灵活性，提高解题能力的很好方法．◆探究实践【问题1〗】有一卖报人，从报社批进某种证券报是每份1．5元，卖出的价格是每份2元，卖不掉的报纸以每份1元的价格退回报社，在30天的时间里有20天每天可卖出150份，其余10天只能卖出100份，但这30天每天从报社批进的份数必须相同．设卖报人每天从报社批出x份报纸，