第六节 微分法在几何上应用

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1、第八章多元函数微分法及应用（§6微分法在几何上的应用）第六节微分法在几何上的应用要求：会求空间曲线的切线及法平面方程，会求空间曲面的且平面及法线方程。重点：空间曲线的切线及法平面方程，曲面切平面及法线方程的求法。难点：空间曲线的方程组形式给出的情况，求其切线及法平面方程。作业：习题8－6（）一．空间曲线的切线与法平面1．空间曲线由参数方程给出设空间曲线的参数方程为，，，且三个函数均可导．当时，对应曲线上的点，当时，对应曲线上的点，曲线的割线的方程为当沿曲线趋于时，割线的极限位置就是曲线在点处的切线，其切线方程如何？令(这时)，上式取极限，即得曲线在点

2、处切线方程为．说明（1）不能同时为零，如果个别为零，按空间解析几何中有关直线对称式方程的说明理解；（2）切线的方向向量称曲线切向量．切向量的方向余弦为，，．8第八章多元函数微分法及应用（§6微分法在几何上的应用）曲线的法平面通过点而与切线垂直的平面称为曲线在点处的法平面，方程为．例1．求螺旋线，，对应于处的切线和法平面方程．解曲线上对应于的点，即，切向量，因此切线方程为，法平面方程为．切向量的方向余弦为可见曲线的切线与轴的夹角(母线的夹角)为定值．2．空间曲线的方程由，给出取为参数，它就可表示为参数方程的形式，若在处可导，曲线在点处的切向量，切线方程

3、．8第八章多元函数微分法及应用（§6微分法在几何上的应用）法平面方程．例2．求曲线，在点处的切线及法平面方程．解因为，，，，所以切向量，切线方程，法平面方程．3．空间曲线的方程由给出设是曲线上的一点，又设对各变量的偏导数连续，且，此时方程组在点的某邻域内唯一确定一组函数，，求曲线在点处的切线方程及法平面方程．只要求出，得切向量，为此方程，两边对求全导数得因为所以可解得，，8第八章多元函数微分法及应用（§6微分法在几何上的应用）于是切向量．例3．求曲线在点处的切线及法平面方程．解下面我们依照推导公式的方法来解，将所给方程两边对求导，得解方程组，得，于是

4、，从而因此，所求切线方程，即法平面方程为，即．练习：求曲线在对应于的点处的切线及法平面方程．二．曲面的切平面与法线1．曲面方程由隐式方程给出设曲面方程为，点为曲面上的一点，又设函数的偏导数在点连续且不同时为零．讨论曲面在点处的切平面，那么曲面在点处切平面指什么？为此首先考虑这样一个事实：在曲面上过点的任何曲线在的切线位于同一平面上，下面证明这个事实．8第八章多元函数微分法及应用（§6微分法在几何上的应用）在曲面上过点任意引一条曲线，其参数方程为，且不全为零，由于曲线位于曲面上，满足，又因为在点处有连续偏导数，且存在，上式的复合函数在的全导数存在，于是

5、．即．引入向量.上式表明，曲线在点处的切线向量与一个确定向量垂直．因为曲线是曲面上过点的任一条曲线，它们在的切线都与同一个向量垂直，所以曲面上过点的一切曲线在点的切线都在同一个平面上，这个平面称为曲面在点的切平面，切平面方程为，曲面在点的切平面的法向量简称为曲面的法向量．过点且垂直于切平面的直线称为曲面在点的法线，其方程为例4．求曲面在点处的切平面方程及法线方程．解令，则，即有，在点处切平面方程为，即．8第八章多元函数微分法及应用（§6微分法在几何上的应用）法线方程为，即．2．曲面方程由显式方程给出求曲面在点处切平面及法线方程．令，可见，，，则曲面在

6、点处法向量为，于是切平面方程为，法线方程为说明（1）函数在点的全微分为，因此切平面方程表示全微分的几何意义，即曲面在点处切平面上点的竖坐标的增量（正象一元函数表切线的纵坐标增量）．i，（2）若曲面的切平面的法向量的方向角为，并假定向量的方向是向上的(即使得它与轴的正向所成的角是锐角)，则法向量的方向余弦如何求？若曲面方程为，则　，，．若曲面方程为，则

7、，，．8第八章多元函数微分法及应用（§6微分法在几何上的应用）　增量例5.求旋转抛物面在点处的切平面及法线方程．解因为，所以，即有，于是过点的切平面方程为，即．法线方程为．例6.求椭球面上平行于平面的切平面方程．解因为切平面的法向量为，而平面法向量为又因为，所以，将代入方程中，得从中解出．于是，所求点为及，切平面方程为，或，即.

8、8第八章多元函数微分法及应用（§6微分法在几何上的应用）例7.设曲面方程，求曲面上任一点处切平面方程，并证明