“震撼”动感地带

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1、“震撼”的动感地带在数学学习中，我们常用到数学变换——平移、旋转或翻折（对称），数学的运动变换给人以“动感”的美，堪称数学中的“动感地带”。数学变换的运用，正体现了数学思维方法的生动活泼性及灵活多样性。下面仅就旋转变换，结合实例和大家共同体验“旋转”所带给我们的动感吧！例1：如图所示，△abc为等边三角形，点p为正三角形内一点，且ap=3，bp=4，cp=5，求△abc的边长是多少？分析与思考：结合△abc为正三角形及ap=3，bp=4，cp=5的特殊性（3，4，5为勾股数）考虑到利用旋转变换，进行转化。1.将

2、△apb绕点a逆时针旋转60°，得△adc，则可以判定△apd为等边三角形。则pd=3，再注意到△pdc中，pd=3，dc=pb=4，pc=5，则由此判定△pdc为直角三角形，∠pdc=90°，所以并且等边三角形△apd的面积可求，因为其边长pd=pa=ad=3所以：。2.将△cpa绕点c逆时针旋转60°，得△ceb，则可判定△pce为等边三角形，且边长pe=5，观察△pbe中，pb=4，be=ap=3，又pe=5，所以由此判定△pbe为直角三角形。其中∠pbe=90°，所以且等边三角形△pec面积为：。3.同

3、理，将△bpc绕点b逆时针旋转60°，得△bfa。则可判定△bpf为等边三角形，且边长pf=4，观察△apf这里我们通过旋转，巧妙的运用了旋转后所得到的特殊图形的“面积”及其它们之间的关系，顺利的解决了此处的问题。当然，我们还有更为简捷的方法解决这里的问题。等到今后的更高的年级里我们再进一步学习“余弦定理”之后，我们就可以利用“余弦定理”轻松地加以解决了。下面我们再看一例。例2：如图，△abc为等边三角形，点p在△abc内部，∠apb∶∠bpc∶∠cpa=5∶6∶7，则以ap、bp、cp为边的三角形的三个内角各

4、为多少？分析与思考：显然∠apb、∠bpc、∠cpa均可求出，因为∠apb+∠bpc+∠cpa=360°，且∠apb：∠bpc∶∠cpa=5∶6∶7。所以∠apb=100°，∠bpc=120°，∠cpa=140°。考虑利用旋转，将pa、pb、pc三边集中到同一个三角形中去，将△apb绕点a逆时针旋转60°，得△adc。则可以判定△apd为等边三角形。于是ap=pd，且dc=pb，此时在△pdc中的三个内角即为题中所要求的三个内角。显然：∠dpc=∠apc-∠adp=140°-60°=80°。且∠pdc=∠adc

5、-∠adp=∠apb-∠adp=100°-60°=40°，所以：∠pdc=180°-∠dpc-∠pdc=180°-80°-40°=60°。这样以ap，bp，cp为三边的三角形各内角分别为：40°、60°、80°。例3：最后，再来看一个利用旋转变换求1到n的连续n个自然数的平方和的精彩的例子。如图（图①中）将1、2、3、……n作正三角形排列，排列的规则是：第k行的共k个位置上的所有数均为k，显然第k行所有数的和为k2，这样所有的第一到第n行的所有数的和应为s平方和=12+22+32+……+k2+……n2。下面我们

6、探求如何求出s平方和。将图①绕正三角形的中心逆时针旋转120°得图②，再将图②绕中心逆时针旋转120°得图③。现在将图①、图②、图③三个正三角形再加以叠合，则叠合后对应的三个数的和为（2n+1），显然这样的“和”共有个，因此所有的数字的和应为：，而另一方面所有的这些数字的和又可表示为：3（12+22+32+……+n2），比较上述的关系，我们自然得到以下关系式：3s平方和=。所以可得：s平方和=。利用此式可以很便捷地求出1到n的连续n个数的平方和。如求12+22+32+……+502，则n=50，将n=50代入s平

7、方和中可得：s平方和=12+22+32+……+502=