数学奥林匹克高中训练题20

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1、数学奥林匹克高中训练题（20）第一试一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．(训练题25)已知函数的反函数的图象关于点成中心对称图形，则实数等于(A)．(A)2(B)3(C)-2(D)-42．(训练题25)我们把离心率等于黄金比的椭圆称之为“优美椭圆”．设＞b＞0)为优美椭圆，分别是它的左焦点和右端点，是它的短轴的一个端点，则等于(C)．(A)(B)(C)(D)3．(训练题25)已知三边的长分别是，复数满足，那么复数一定是(C)．(A)是实数(B)是虚数(C)不是实数(D)不是纯虚数4．(训练题25)函数的最大值是(D)．(A)(B)(C)(D)5．(训练题25)以为

2、球心，4为半径的球与三条相互平行的直线分别切于三点．已知，，则等于(B)．(A)(B)(C)(D)6．(训练题25)在集合的所有子集中，有这样一族不同的子集，它们两两的交集都不是空集，那么这族子集最多有(B)．(A)个(B)个(C)个(D)个二、填空题（本题满分54分，每小题9分）1．(训练题25)在直角坐标系中，一直角三角形的两条直角边分别平行于两坐标轴，且两直角边上的中线所在直线方程分别是和，则实数的值是．2．(训练题25)设，表示不超过实数的最大整数，则函数的值域是．A1AC1B1BCD3．(训练题25)设是直角三角形的三条边长，为斜边长，那么使不等式对所有直角三角

3、形都成立的的最大值是．4．(训练题25)如图，正三棱柱的各条棱长都是1，截面在棱上的交点为，设这个截面与底面和三个侧面所成的二面角依次为，若，则截面的面积等于．5．(训练题25)已知是定义域在实数集的函数,且，则的值是．6．(训练题25)设是方程的最大负根，是方程的最小正根，那么，使不等式成立的实数的取值范围是．第二试一、(训练题25)(本题满分25分)某眼镜车间接到一任务，需要加工6000个型零件和2000个型零件，这个车间有214名工人，他们每一个人加工5个型零件的时间可加工3个型零件．将这些人分成两组同时工作，每组加工同一型号的零件，为了在最短的时间完成，应怎样分组

4、？77二、(训练题25)(本题满分25分)已知一个四边形的各边长都是整数，并且任意一边的长都能整除其余三边之和．求证：这个四边形必有两边相等．三、(训练题25)(本题满分35分)实数数列满足：．若数列满足：．求的最大可能值．四、(训练题25)(本题满分35分)给定两个七棱锥，它们有公共的底面，顶点在底面的两侧．现将下述线段中的每一条染红，蓝两色之一：，底面上的所有的对角线和所有的侧棱．求证：图中心存在一个同色三角形．