数学物理方程第二版答案(平时课后习题作业)new

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1、数学物理方程答案数学物理方程第二版答案第一章．波动方程§1方程的导出。定解条件4.绝对柔软逐条而均匀的弦线有一端固定，在它本身重力作用下，此线处于铅垂平衡位置，试导出此线的微小横振动方程。解：如图2，设弦长为，弦的线密度为，则点处的张力为且的方向总是沿着弦在点处的切线方向。仍以表示弦上各点在时刻沿垂直于轴方向的位移，取弦段则弦段两端张力在轴方向的投影分别为其中表示方向与轴的夹角又于是得运动方程∣∣利用微分中值定理，消去，再令得。5.验证在锥>0中都满足波动方程证：函数在锥>0内对变量有二阶连续偏导数。且数学物理方程答案同理所以即得所证。§2达朗贝尔公式

2、、波的传抪3.利用传播波法，求解波动方程的特征问题（又称古尔沙问题）解：u(x,t)=F(x-at)+G(x+at)令x-at=0得=F（0）+G（2x）令x+at=0得=F（2x）+G(0)所以F(x)=-G(0).G（x）=-F(0).且F（0）+G(0)=所以u(x,t)=+-即为古尔沙问题的解。8．求解波动方程的初值问题数学物理方程答案解：由非齐次方程初值问题解的公式得====即为所求的解。 §3混合问题的分离变量法1.用分离变量法求下列问题的解：(1)解：边界条件齐次的且是第一类的，令得固有函数，且，于是数学物理方程答案今由始值确定常数及，由

3、始值得所以当因此所求解为(2)解：边界条件齐次的，令得：(1)及。求问题(1)的非平凡解，分以下三种情形讨论。时，方程的通解为数学物理方程答案由得由得解以上方程组，得，，故时得不到非零解。时，方程的通解为由边值得，再由得，仍得不到非零解。时，方程的通解为由得，再由得为了使，必须，于是且相应地得到将代入方程(2)，解得于是再由始值得容易验证构成区间上的正交函数系：数学物理方程答案利用正交性，得所以2。设弹簧一端固定，一端在外力作用下作周期振动，此时定解问题归结为求解此问题。解：边值条件是非齐次的，首先将边值条件齐次化，取，则满足，令代入原定解问题，则满足

4、满足第一类齐次边界条件，其相应固有函数为，故设数学物理方程答案将方程中非齐次项及初始条件中按展成级数，得其中其中将(2)代入问题(1)，得满足解方程，得通解由始值，得所以数学物理方程答案因此所求解为3．用分离变量法求下面问题的解解：边界条件是齐次的，相应的固有函数为设将非次项按展开级数，得其中将代入原定解问题，得满足方程的通解为由，得：由，得数学物理方程答案所以所求解为§4高维波动方程的柯西问题1．利用泊松公式求解波动方程的柯西问题解：泊松公式现且其中计算数学物理方程答案所以u(x,y,z)=数学物理方程答案即为所求的解。2．试用降维法导出振动方程的达

5、朗贝尔公式。解：三维波动方程的柯西问题当u不依赖于x,y,即u=u(z),即得弦振动方程的柯西问题：利用泊松公式求解因只与z有关，故令,得所以即为达郎贝尔公式。3.求解平面波动方程的柯西问题：解：由二维波动方程柯西问题的泊松公式得：数学物理方程答案又因为所以又于是数学物理方程答案即为所求的解。4.求二维波动方程的轴对称解（即二维波动方程的形如的解，.解：解法一：利用二维波动方程柯西问题的积分表达式由于u是轴对称的故其始值,只是r的函数，,记圆上任一点的矢径为圆心其矢径为记则由余弦定理知，，其中为与的夹角。选极坐标。于是以上公式可写成由上式右端容易看出，

6、积分结果和有关，因此所得的解为轴对称解，即+解法二：作变换,.波动方程化为数学物理方程答案用分离变量法，令u(r,t)=R(r)T(t).代入方程得解得：令叠加得5.求解下列柯西问题[提示：在三维波动方程中，令]解：令则代入原问题，得记为上半球，为下半球，为在平面上的投影。,则数学物理方程答案所以于是即为所求的解。6．试用第七段中的方法导出平面齐次波动方程在齐次初始条件数学物理方程答案下的求解公式。解：首先证明齐次化原理：若是定解问题的解，则即为定解问题的解。显然，（）.所以又因为w满足齐次方程，故u满足齐次化原理得证。由齐次方程柯西问题解的泊松公式知

7、所以即为所求的解。所以数学物理方程答案7．用降维法来解决上面的问题解：推迟势其中积分是在以为中心，为半径的球体中进行。它是柯西问题的解。对于二维问题，皆与无关，故其中为以为中心r为半径的球面，即其中分别表示的上半球面与下半球面，表示在平面上的投影。所以数学物理方程答案在最外一层积分中，作变量置换，令，即，当时，当时，，得即为所求，与6题结果一致。8．非齐次方程的柯西问题解：由解的公式得计算　　　　　　　　　所以　　计算　　　数学物理方程答案所以　　　　　　　　即为所求的解。　　　　　§5　能量不等式，波动方程解的唯一和稳定性1．设受摩擦力作用的固定端点

8、的有界弦振动，满足方程　　　　　　　　证明其能量是减少的，并由此证明方程的混合问题解的唯一性以