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1、高等等离子体物理(一)线性理论(研究生教材)王晓钢北京大学物理学院2009年2月等离子体的流体理论1.等离子体的流体描述1.1等离子体的双流体模型1.2Hall磁流体(Hall-MHD)模型1.3电子磁流体(E-MHD)模型1.4理想磁流体力学(MHD)方程组1.5位力定理1.6变分原理2.理想磁流体平衡2.1磁场与磁面2.2Z-箍缩与q-箍缩2.3一维平衡与螺旋箍缩2.4Grad-Shafrano方程3.等离子体的理想磁流体稳定性3.1能量原理3.2扭曲模与交换模3.3一维稳定性,直柱托卡马克4.磁流体力学波4.1线
2、性磁流体(MHD)方程4.2非磁化等离子体中的磁流体波4.3磁化等离子体中的磁流体波5.均匀等离子体中的波(双流体理论)5.1双流体模型5.2介电张量与色散关系5.3静电波简介5.4准静电波与准电磁波5.4电磁波简介1.等离子体的流体描述1.1等离子体的双流体模型等离子体是由大量带电粒子组成的物质状态。一般意义上的等离子体由带正电的离子和带负电的电子组成。由于带电粒子之间的Coulomb长程相互作用,等离子体呈整体电中性,即总的正电荷与负电荷相等。因此,除特殊的非中性(一般是强耦合的)等离子体之外,我们可以用带负电的电
3、子流体和带正电的离子流体组成的“双流体”模型来描述等离子体的宏观行为。这种近似牵涉到等离子体时空尺度的讨论,我们在后面将进一步详细论述。基于流体力学的图像及其近似,或者从统计物理的分布函数及其满足的方程(如Vlasov方程或者Fokker-Planck方程等,取决与碰撞项的形式,这里用类Markov过程的碰撞项)出发,我们得到“双流体”方程组:连续性方程(统计方程的零阶矩),(I-01)动量方程(力平衡方程,统计方程的一阶矩),(I-02)状态方程(对统计方程各阶矩的“不封闭链”(Hierarchy)的一种截断);(I
4、-03)Coulomb定律(Poisson方程),(I-04)Ampere定律,(I-05)Gaussion定理,(I-06)Fayraday定律;(I-07)这里;对类粒子来说:是粒子数密度,是粒子质量,是粒子电荷,是流体速度,是理想气体近似下的分压强;而是类与类粒子之间的碰撞频率(当时为自碰撞)。,,则分别是电场强度、磁感应强度、和等离子体电流密度。关于状态方程,我们以后会进一步讨论。这里我们只是指出:参数的取值决定等离子体的状态,如等温(isothermal)状态对应;不可压缩状态对应;其它的值对应“绝热”状态。
5、1.2Hall磁流体(Hall-MHD)模型一般来说,双流体模型是描述等离子体宏观(大于粒子回旋半径的尺度)运动的有力工具;在高频波段也可以应用,甚至在回旋半径的尺度上也可以得到一些有用的结果。但是,由于电子与离子质量之间超过三个数量级的差别,在具体计算双流体模型的时候,会遇到所谓“刚性”问题:即电子已经完全改变了运动状态,离子还基本没有动!这使得我们在计算离子时空尺度下的物理问题时,耗费大量的计算机时间。而且由于code本身的精度,即使经过长时间运算看到了离子的运动,其结果或者是看到了很强的数值不稳定性、或者是很难令
6、人相信。而为了稳定code引进的数值耗散,则往往带来人为的非物理的效应。即使对纯理论的解析推导,不仅过程繁杂,而且得到的物理图像也不清晰。所以我们经常引进进一步的近似。因为离子运动的时间尺度远远长于电子的时间尺度(通常在40倍以上,对于回旋运动来说则可以大于1840倍),所以我们在主要考虑离子运动时,可以认为电子响应是“瞬时”的(instantaneouslyorsimultaneously)。这样,我们可以保持其它方程不变,近似地把(I-02)中电子的质量趋于零,得到:,(I-02e)这里是所谓的“Spitzer电阻
7、”。利用在“准电中性”近似下,,是等离子体电流,这个方程可以写为:。必须注意到:这里我们还用到了的条件。明显地,要求电子运动与离子运动的分离,即所谓Hall效应。所以我们称这个近似模型为Hall磁流体模型;这个方程则称为Hall磁流体的广义欧姆定律(HallMHDGeneralizedOhm’sLaw)。方程中的明显地就是我们在电磁学课程里熟知的Hall电场项。1.3电子磁流体(E-MHD)模型而另一方面,我们在主要考虑电子运动时,可以认为离子响应是“无穷慢”的,或者说离子可以看成是保持总体电中性的“背景”。或者说,把
8、离子看成是“稳态”的(,但是可以有)。将的近似带入离子的方程,得到的是所谓电子磁流体(ElectronMHD)模型。这个模型也是在电子和离子的运动分离的情况下得到的,适用于比HallMHD模型更小的空间尺度和更快的时间尺度的问题。1.4理想磁流体(MHD)方程组如果不仅整体等离子体呈电中性,而且在非常小的局部也呈电中性,我们可以把
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