2013北师大版必修四2.3《从速度的倍数到数乘向量》word教案

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1、第二章平面向量2.3从速度的倍数到数乘向量一、教学目标：1.知识与技能⑴要求学生掌握实数与向量积的定义及几何意义.⑵了解数乘运算的运算律，理解向量共线的充要条件。⑶要求学生掌握平面向量的基本定理，能用两个不共线向量表示一个向量；或一个向量分解为两个向量。⑷通过练习使学生对实数与积，两个向量共线的充要条件，平面向量的基本定理有更深刻的理解，并能用来解决一些简单的几何问题。2.过程与方法：教材利用同学们熟悉的物理知识引出实数与向量的积（强调：1．“模”与“方向”两点)2．三个运算定律（结合律，第一分配律，第二分配律）），在此基础上得到

2、数乘运算的几何意义；通过正交分解得到平面向量基本定理（定理的本身及其实质）。为了帮助学生消化和巩固相应的知识，教材设置了几个例题；通过讲解例题，指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力.3.情感态度价值观通过本节内容的学习，使同学们对实数与向量积以及平面向量基本定理有了较深的认识，让学生理解和领悟知识将各学科有机的联系起来了，这样有助于激发学生学习数学的兴趣和积极性，有助于培养学生的发散思维和勇于创新的精神.二.教学重、难点重点:1.实数与向量积的定义及几何意义.2.平面内任一向量都可以用两个不共线非零向量表示难点:1

3、.实数与向量积的几何意义的理解.2.平面向量基本定理的理解.三.学法与教学用具学法：(1)自主性学习+探究式学习法：(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.教学用具:电脑、投影机.四.教学设想第一课时【探究新知】1．思考:（引入新课）已知非零向量作出++和(-)+(-)+(-)BAOCPQMN==++=3==(-)+(-)+(-)=-3讨论：①3与方向相同且

4、3

5、=3

6、

7、②-3与方向相反且

8、-3

9、=3

10、

11、2．从而提出课题：实数与向量的积；实数λ与向量的积，记作：λ定义：实数λ与向量的积是一个向

12、量，记作：λ①

13、λ

14、=

15、λ

16、

17、

18、②λ>0时λ与方向相同；λ<0时λ与方向相反；λ=0时λ=例题讲评（学生先做，学生评，教师提示或适当补充）例1.（见P96例1）略思考：根据几何意义，你能否验证下列实数与向量的积的是否满足下列运算定律（证明的过程可根据学生的实际水平决定）结合律：λ(μ)=(λμ)①第一分配律：(λ+μ)=λ+μ②第二分配律：λ(+)=λ+λ③①结合律证明：如果λ=0，μ=0，=至少有一个成立，则①式成立如果λ¹0，μ¹0，¹有：

19、λ(μ)

20、=

21、λ

22、

23、μ

24、=

25、λ

26、

27、μ

28、

29、

30、

31、(λμ)

32、=

33、λμ

34、

35、

36、=

37、λ

38、

39、μ

40、

41、

42、

43、∴

44、λ(μ)

45、=

46、(λμ)

47、如果λ、μ同号，则①式两端向量的方向都与同向；如果λ、μ异号，则①式两端向量的方向都与反向。从而λ(μ)=(λμ)②第一分配律证明：如果λ=0，μ=0，=至少有一个成立，则②式显然成立如果λ¹0，μ¹0，¹当λ、μ同号时，则λ和μ同向，∴

48、(λ+μ)

49、=

50、λ+μ

51、

52、

53、=(

54、λ

55、+

56、μ

57、)

58、

59、

60、λ+μ

61、=

62、λ

63、+

64、μ

65、=

66、λ

67、

68、

69、+

70、μ

71、

72、

73、=(

74、λ

75、+

76、μ

77、)

78、

79、∵λ、μ同号∴②两边向量方向都与同向即：

80、(λ+μ)

81、=

82、λ+μ

83、当λ、μ异号，当λ>μ时②两边向量的方向都与λ同向当λ<μ时②两边向量的方向

84、都与μ同向还可证：

85、(λ+μ)

86、=

87、λ+μ

88、∴②式成立③第二分配律证明：如果=，=中至少有一个成立，或λ=0，λ=1则③式显然成立OABB1A1当¹，¹且λ¹0，λ¹1时1°当λ>0且λ¹1时在平面内任取一点O，作===λ=λ则=+λ+λ由作法知：∥有ÐOAB=ÐOA1B1

89、

90、=λ

91、

92、∴λ∴△OAB∽△OA1B1∴λÐAOB=ÐA1OB1因此，O，B，B1在同一直线上，

93、

94、=

95、λ

96、与λ方向也相同AOBB1A1λ(+)=λ+λ当λ<0时可类似证明：λ(+)=λ+λ∴③式成立【探究新知】（师生共同分析向量共线的充要条件）若有向量(¹)

97、、，实数λ，使=λ则由实数与向量积的定义知：与为共线向量若与共线(¹)且

98、

99、：

100、

101、=μ，则当与同向时=μ；当与反向时=-μ从而得：向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使=λ.例题讲评（师生共同分析，学生动手做）例2.PBAO例3.如图：，不共线，P点在AB上，求证：存在实数使（证明过程与P97例3完全类似；略）思考：由本例你想到了什么？（用向量证明三点共线）【巩固深化，加强基础】1.见P85练习1、2、3、4题.2.如例3图，，不共线，=t(tÎR)用，表示.第二课时【探究新知】1．思考：①是不是每一个向量都可

102、以分解成两个不共线向量？且分解是唯一？②对于平面上两个不共线向量，是不是平面上的所有向量都可以用它们来表示？2．教师引导学生分析ONBMMCM设，是不共线向量，是平面内任一向量==λ1==λ2==+=λ1+λ2得平面向量基本定理：如果，是同一平面内