数学物理方法试卷答案

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1、《数学物理方法》试卷答案一、选择题（每题4分，共20分）1．柯西问题指的是（B）A．微分方程和边界条件.B.微分方程和初始条件.C．微分方程和初始边界条件.D.以上都不正确.2．定解问题的适定性指定解问题的解具有（D）A．存在性和唯一性.B.唯一性和稳定性.C.存在性和稳定性.D.存在性、唯一性和稳定性.3．牛曼内问题有解的必要条件是（C）A．.B．.C．.D．.4．用分离变量法求解偏微分方程中，特征值问题的解是（B）A．.B．.C．.D．.5．指出下列微分方程哪个是双曲型的（D）A．.B．.C．.D．.9二、填空题（每题4分，共20分）1．求

2、定解问题的解是().2．对于如下的二阶线性偏微分方程其特征方程为().3．二阶常微分方程的任一特解（或0).4．二维拉普拉斯方程的基本解为（），三维拉普拉斯方程的基本解为（）.5．已知，利用Bessel函数递推公式求（）.三、（15分）用分离变量法求解如下定解问题解：第一步：分离变量(4分)设，代入方程可得9此式中，左端是关于的函数，右端是关于的函数。因此，左端和右端相等，就必须等于一个与无关的常数。设为，则有将代入边界条件得从而可得特征值问题第二步：求解特征值问题(4分)1)若，方程的通解形式为由定解条件知，从而，不符合要求。2)若，方程的通

3、解形式为由边界条件知，从而。3)若，方程的通解形式为代入边界条件得从而得特征值问题的一系列特征值及相应的特征函数9第三步：求特解，并叠加出一般解(3分)求解了特征值问题后，将每特征值代入函数满足的方程可得出相应的解因此，也就得到满足偏微分方程和边界条件的一般解第四步：确定叠加系数(4分)由初始条件可知可得故原方程的解为9四、（10分）用行波法求解下列问题解：其特征方程为(2分)由此可得特征线方程为(2分)因此作变换(2分)从而可得＝0从而有由初始条件可得所以有，从而可得(2分)故而可知。(2分)9五、（10分）用Laplace变换法求解定解问题

4、：解：由题意知，需关于时间t作拉普拉斯变换，记，对方程做拉氏变换可得(4分)用系数待定法很容易解求上常微分方程的一特解(2分)又上常微分方程相应的齐次问题的通解为所以，上常微分方程的通解为，(2分)再由定解条件可得A＝B＝0，从而故而，原定解问题的解。(2分)9六、（15分）用格林函数法求解下定解问题解：设为下半平面中任意一点。已知二维调和函数的积分表达式为(2分)设为调和函数，则由第二格林公式知（2）（1）＋（2）可得(2分)若能求得满足（3）则定义格林函数，则有(2分)由电象法可知，为的象点，故可取(2分)显然其满足（3）。从而可得格林函数

5、9(5分)故而(2分)七、（10分）将函数在区间[0，1]上展成Bessel函数系的级数，其中为Bessel函数的正零点，.解：设有如下级数形式(1分)下面利用Bessel函数的正交性确定系数易知，对上等式两边同时乘以并关于x在[0,1]内积分可得(2分)再由递推公式,可得(2分)故而(3分)这里用到递推公式。所以，(2分)9T12、（12分）将函数在区间上展开成Bessel函数系的级数，其中是Bessel函数的正零点，。解：设其中(3分)作变量代换，令，则由递推公式,可得(4分)再由递推公式。所以，(3分)从而(2分)9