资源描述：
《线性代数 课后习题答案 总主编 邹庭荣 主编 李仁所 张洪谦 第3章_线性方程组习题解答》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、习题33-1．求下列齐次线性方程组的通解：解对系数矩阵施行行初等变换，得，与原方程组同解的齐次线性方程组为，即（其中是自由未知量），令，得到方程组的一个基础解系,所以，方程组的通解为为任意常数．18（2）.解对系数矩阵施行行初等变换，得，与原方程组同解的齐次线性方程组为，即（其中是自由未知量），令，，得到方程组的一个基础解系，，所以，方程组的通解为，为任意常数．18（3）．解对系数矩阵施行行初等变换，得，与原方程组同解的齐次线性方程组为，即（其中是自由未知量），18令，，得到方程组的一个基础解系，，所以，方程组的通解为，为任意常数．3-2．当取何值时，方程组有非零解？解原方程组等价于
2、,上述齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是它的系数行列式，即，从而当和时方程组有非零解．3-3．求解下列非齐次线性方程组：（1）.解对增广矩阵施行行初等变换，因为，所以方程组有解，继续施行行初等变换18，与原方程组同解的齐次线性方程组为,即（其中为自由未知量），令，得到非齐次方程组的一个解，对应的齐次方程组（即导出方程组）为（其中为自由未知量），令，，得到对应齐次方程组的一个基础解系，,方程组的通解为，其中为任意常数．（2）.解对增广矩阵施行行初等变换18，因为，所以方程组有解，继续施行行初等变换，与原方程组同解的齐次线性方程组为,即（其中为自由未知量），令，得到非齐次方程组的一个
3、解,对应的齐次方程组（即导出方程组）为（其中为自由未知量），令，，得到对应齐次方程组的一个基础解系，，方程组的通解为,其中为任意常数．18（3）．解对增广矩阵施行行初等变换，因为，所以方程组无解.3-4．讨论下述线性方程组中，取何值时有解、无解、有惟一解？并在有解时求出其解．．解方程组的系数行列式为.（1）当时，即时，方程组有惟一解．（2）当时，即时，(i)当时,原方程组为18，显然无解．(ii)当时，原方程组为，对该方程组的增广矩阵施行行初等变换，因为，所以方程组有无穷多组解，与原方程组同解的方程组为，即（其中为自由未知量），令，得到非齐次方程组的一个解，对应的齐次方程组（即导出方
4、程组）为（其中为自由未知量），令，得到对应齐次方程组的一个基础解系，18方程组的通解为，其中为任意常数．3-5．写出一个以为通解的齐次线性方程组．解由已知，和是齐次线性方程组的基础解系，即齐次线性方程组的基础解系所含解向量的个数为2，而未知数的个数为4，所以齐次线性方程组的系数矩阵的秩为，故可设系数矩阵,由可知和满足方程组,即方程组的线性无关的两个解即为,方程组的系数矩阵,该方程组等价于（其中为自由未知量），令，，得到该齐次方程组的一个基础解系，，18故要求的齐次线性方程组为，其中,即.3-6．设线性方程组，的解都是的解，试证是向量组,,L,的线性组合．证把该线性方程组记为（*），由
5、已知，方程组（*）的解都是的解，所以方程组（*）与方程组,同解，从而有相同的基础解系，于是二者有相同的秩，则它们系数矩阵的行向量组和的秩相同，故可由线性表示．3-7．试证明：的充分必要条件是齐次线性方程组的解都是的解．证必要性.因为，只须证与的基础解系相同．与的基础解系都含有个线性无关的解向量．又因为的解都是得解．所以的基础解系也是18的基础解系．即与有完全相同的解．所以的解都是的解．充分性.因的解都是的解，而的解都是的解，故与有完全相同的解，则基础解系也完全相同，故，所以．3-8．证明的充分必要条件是存在非零列向量及非零行向量，使．证充分性.若存在列向量及行向量，其中不全为零，，则
6、有,显然矩阵的各行元素对应成比例，所以．必要性.若，则经过一系列的初等变换可化为标准形，而矩阵可以表示为，则存在可逆矩阵，使得，从而18，其中均可逆，记， ，又因为可逆，则至少有一行元素不全为零，故列向量的分量不全为零，同理，因为可逆，所以行向量的分量不全为零．因此，存在非零列向量及非零行向量，使．补充题B3-1.设是矩阵，是非其次线性方程组所对应齐次线性方程组，则下列结论正确的是（D）.（A）若仅有零解，则有惟一解；（B）若有非零解，则有无穷多个解；（C）若有无穷多个解，则仅有零解；（D）若有无穷多个解，则有非零解．B3-2.设为阶实矩阵，是的转置矩阵，则对于线性方程组（ⅰ）；（ⅱ
7、），必有（D）．（A）（Ⅱ）的解是（Ⅰ）的解，（Ⅰ）的解也是（Ⅱ）的解；（B）（Ⅱ）的解是（Ⅰ）的解，但（Ⅰ）的解不是（Ⅱ）的解；（C）（Ⅰ）的解不是（Ⅱ）的解，（Ⅱ）的解也不是（Ⅰ）的解；（Ｄ）（Ⅰ）的解是（Ⅱ）的解，但（Ⅱ）的解不是（Ⅰ）的解．B3-3．设线性方程组有个未知量，个方程组，且18，则此方程组（A）．（Ａ）时，有解； （Ｂ）时，有惟一解；（Ｃ）时，有惟一解； （Ｄ）时，有无穷多解． B3-4．讨论取何值时，下述方程组有解，并求解：．解（
