数值分析分章复习(第四章数值积分)

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1、第四章数值积分要点：（1）数值积分公式的代数精确度概念，代数精确度所蕴含的余项表达式（2）插值型求积公式的构造及余项表达式（3）插值型求积公式关于代数精确度的结论及证明（4）梯形公式、Simpson公式的形式及余项表达式（5）复合梯形公式、复合Simpson公式及其余项表达式（6）掌握如何根据要求的精度依据复合梯形（或Simpson）公式的余项确定积分区间[a,b]的等分次数n（7）Newton-Cotes求积分公式的特点以及代数精确度的结论（8）高斯型求积公式的概念复习题：1、已知求积公式为(1)确定它的代数精度，并指出它

2、是否为Gauss公式；(2)用此求积公式计算定积分解：（1）依次取代入积分公式可发现:左端=右端，而当取时，左端可端可见该是求积公式具有5阶代数精确度由于求积公式节点数为,而公式代数精确度所以该求积公式为Gauss公式（1）对于，有故2、对于2结点插值型求积公式。（1）如果求积分公式是两结点牛顿—科特斯求积公式，请给出求积系数，求积结点，并给出积分余项表达式（2）若使其具有最高的代数精度，试确定求积系数与求积结点？代数精度为多少？注：本题不用考虑1、分别用梯形公式和二点Gauss公式计算积分，比较二者的精度解：利用梯形公式，

3、注：Gauss公式部分不要2、对于积分。（1）写出梯形公式与辛普森公式；（2）请直接指出这两个公式的代数精度；（3）问区间[0,1]应分为多少等分，用复化辛普森公式才能使误差不超过解：（1），（2）梯形公式余项辛普森公式余项可见梯形公式代数精度为，辛普森公式代数精度（3）根据复合辛普森公式的余项注意到令，解得可见当取时，对应的复合辛普森公式可满足精度要求3、确定下列公式中的参数，，，使其代数精度尽量高，并指出所得公式的代数精确度。解：依次取代入积分公式，并令:左端=右端，得方程组，解得得公式：取代入公式，有左端=右端取代入公

4、式，有左端右端可见该求积公式代数精确度为1、确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指出其代数精度解：解题过程与上题类同，所得结果代数精确度为2、试设计求积公式，使之代数精度尽量高，并指出其所具有的代数精度。解：解题过程与上题类同，所得结果代数精确度为3、求积公式具有多少次代数精确度解：依次取代入积分公式，得左端=右端当取时，左端右端，故公式的代数精确度为4、试设计求积公式，使之代数精度尽量高，并指出其所具有的代数精度。解：依次取代入积分公式，令左端=右端，得得公式的代数精确度为1、试确定下列求积公式的代数精确度

5、解：依次取代入积分公式，得左端=右端当取时，左端右端，故公式的代数精确度为2、试确定常数,使求积公式有尽可能高的代数精度,并指出代数精度是多少,该公式是否是Gauss型?并用此公式计算积分（结果保留5位小数）解：依次取代入积分公式，令左端=右端，得对应求积公式依次取代入积分公式，得左端=右端当取时，左端右端，故公式的代数精确度为由于求积公式节点数，而代数精确度可见该求积公式是Gauss型求积公式3、求出二点Gauss求积公式中系数，及节点，。并用此公式计算积分（结果保留5位小数）解：依次取代入积分公式，令左端=右端，得由可得

6、，继而可求得,及对应求积公式：对于，利用变量代换：，则1、试证明高斯求积公式的求积系数恒为正注：本题不用考虑2、确定常数及使求积公式具有尽可能高的代数精确度，是否为Gauss型求积公式？并用上述所得公式计算积分的近似值（计算过程保留6位小数）.解：依次取代入积分公式，令左端=右端，得解得：相应求积公式：取代入公式，有左端=右端取代入公式，有左端右端可见求积公式代数精确度而公式具有节点数，而所以，该求积公式为Gauss型求积公式1、求积公式的代数精确度为多少阶解：依次取代入积分公式，得左端=右端当取时，左端右端，故公式的代数精

7、确度为2、利用复合梯形公式近似计算定积分，要求计算误差不小于，试估计区间等分数解：根据复合辛普森公式的余项这里注意到故有令，解得可见当取时，对应的复合辛普森公式可满足精度要求