随机过程学习报告20141218

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1、《随机过程及应用》学习报告许逸文2014.12.18摘要：本报告主要通过自己学习《随机过程及应用》以及做课后习题，结合自己所学的专业知识，总结出随机过程这门学科的一些重要内容。随机过程中的一些概念在土木工程专业的应用都具有一定的物理意义，在动力学中应用比较广泛。本报告将具体阐述本人对随机过程的理解。关键词：随机过程、均方微积分、平稳过程、谱密度1、随机过程的基本概念随机过程是研究随时间变化的动态系统中随机现象的统计规律的一门学科。随机过程可以看做是某种随机试验的结果，试验中的样本函数是随机的。随

2、机过程在t固定的时候是一个随机变量，也就是t时刻的状态。随机过程中的均值、方差、协方差、相关系数的定义和概率论中的定义类似，增加了相关函数的定义。相关函数的定义为：（1）相关函数在随机过程论中非常重要，是研究随机过程各种性质的基础。2、均方微积分1、二阶矩过程定义：一个随机过程，如果对于任意的有，则此过程为二阶矩过程。随机过程在均方意义下的微积分的前提就是它是一个二阶矩过程。2、均方极限的定义：设随机序列和随机变量,且，，如果：（2）则称均方收敛于，记为：（3）3、类似于均方极限，我们还可以定义

3、均方连续、均方可导、均方可积的定义，同时也产生了均方随机微分方程的概念，这些都与随机过程的相关函数直接挂钩，同时在均方微积分中，连续、可导等成立的条件要比在高等数学中的连续、可导的条件要弱。例如：二阶矩过程均方连续的充要条件是它的相关函数在处连续。这是书中的一个定理，在这里只需要相关函数在处连续是因为在处连续与在上连续是等价的。4、均方连续、可导、可积的性质与高等数学中连续、可导、可积的性质相似。并且由于二阶矩过程中，求期望的符号可以与求微分的符号、求积分的符号互换，所以又衍生出许多性质。这些符

4、号可以互换的性质帮助我理解了很多证明比较难懂的定理。5、对于均方随机微分方程，我将结构动力学中的弹簧—粘壶振子系统为例进行描述。图1、弹簧—粘壶振子系统如图1所示，其随机振动微分方程为（为力的时间函数，为位移函数）：（4）（5）对此随机方程式两边求均值，有：（6）（7）也可以通过此方法来求自相关系数和。当然也可以利用杜哈梅积分（Duhamel'sintegral）直接进行求解1、平稳过程1、平稳过程分为严平稳过程和宽平稳过程。严平稳过程就是n维随机变量与它的另一个n维随机变量具有相同的n维联合分

5、布函数。宽平稳过程就是①均值为常数②自相关函数与t无关的二阶矩过程。2、严平稳过程和宽平稳过程的关系严平稳过程不一定是宽平稳过程，宽平稳过程也不一定是严平稳过程。但是，对于二阶矩过程来说严平稳过程就是宽平稳过程。正态过程里面严平稳过程和宽平稳过程是等价的。3、比较重要的平稳过程举例平稳白噪声模型是最早用来模拟地震地面运动的随机过程模型，这一模型假设地震地面加速度的功率谱密度函数的频率范围具有常数值。平稳白噪声模型在物理上是不能实现的。但是由于白噪声在数学上的简单性，所以常常被作为一些物理现象的近

6、似或理想化的模型。对于线弹性结构体系，在较高频率的激励信号作用下不会产生大的反应，所以采用此模型不会产生比较大的模型，但可以使结构大大简化。4、平稳过程的性质平稳过程的相关函数具有良好的性质，总结下来有这些：①为偶函数②的充要条件是在0处连续，连续时均方连续。③平稳过程均方可导的充要条件是在0处存在二阶导数。④均方可导的平稳过程的导过程也是平稳过程，且导过程的均值为0.5、平稳过程的谱密度平稳过程的相关函数描述了随机过程在时域中的特性，但要全面掌握结构振动过程的特征，还需要研究随机过程中的频率结

7、构。功率谱密度通常也简称为自谱密度或谱密度，它是从频率角度描述的统计规律最主要的数字特征，物理意义就是的平均功率关于频率的分布规律。一般来说，平稳过程的谱密度是分布在整个频域上的。但是在工程中我们主要关心的是实际信号中强度较大的那部分频谱分量主要集中于哪些频率上。根据带宽的“窄”和“宽”，可以把平稳过程划分为窄带平稳过程和宽带平稳过程。宽带过程中的最重要的特例—白噪声过程是应用比较广泛的一个随机过程。白噪声的谱密度在整个频率范围内均匀分布，也就是等同地包含所有频率的谐波分量，这一点非常类似于白光

8、的特性，因此叫白噪声过程。4、总结在学习的过程中，我了解了什么是随机过程，什么是平稳过程，对平稳过程的谱密度有了一个大概的概念。在谱密度这一章节，我还需要学习傅里叶变换以及相关的知识来深入学习谱密度，同时我也看到了随机过程与土木工程专业的联系，不过毕竟是刚开始接触这个方面的知识，有一些知识点难以理解，还需要慢慢的消化。参考文献：[1]陈良均.随机过程及应用北京：高等教育出版社，2003[2]张晓军.随机过程及应用习题集北京：清华大学出版社，2010[3]王梓坤.随机过程论北京：科学出版社，196