5.函数与方程要点例析

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1、函数与方程要点例析判断方程根的分布情况和函数的零点问题是新课标教材中增添的新内容，也是今后考试命题的一个新的热点．1．函数零点是针对方程有实数根而言的，若方程f（x）=0没有实数根，函数y=f（x）的图象与x轴没有公共点，则函数y=f（x）就没有零点，可见方程与函数是密切相关的，方程问题可以转化为函数问题来解决：方程f（x）=0有实数根函数y=f（x）的图象与x轴有交点函数y=f（x）有零点．2．若函数f（x）在某区间［a，b］上的图象是一条连续不断的曲线，并且有f（a）·f（b）＜0，那么，函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，

2、b），使得f（c）=0．这个c就是方程f（x）=0的实数根．特别地，对于二次函数f（x）=，当a≠0时，记，方程f（x）=0有无实数根的判断依据是：（1）当≥0时，方程有实数根；（2）当＜0时，方程没有实数根；3．常见问题如下：①判断方程在指定区间内是否有根；②确定函数零点的个数或方程根的个数；③根据根所在的区间求方程或函数解析式中字母参数的取值范围；④证明题．典例解析例1　判断方程在区间[，0]内有没有实根，并说明理由．　　解析：设，则f（x）的图象是连续曲线．　　∵，．　　∴在区间[，0]内有零点，即方程在[，0]内有实根．　　点评：要判断方程f

3、（x）=0是否存在实根，即判断对应的连续函数y=f（x）的图象与x轴是否有交点，因此，只要看能否找到图象上的两点，满足一点在x轴上方，另一点在x轴下方即可．　　例2　设是[，1]上的增函数，且，则方程f（x）=0在[，1]内（　　）．　　（A）可能有3个实数根　（B）可能有2个实数根　　（C）有惟一的实数根（D）没有实数根　　解析：由，知方程在，内有实数根，又f（x）在[，1]上单调递增，所以方程f（x）=0在[，1]内只有惟一实数根，故选（C）．　　点评：在区间［a，b］上单调且图象连续的函数，若f（a）·f（b）<0，则函数y=f（x）在（a，b

4、）内有惟一的零点．例３　设．若a+b+c=0，f（0）·f（1）＞0，求证：（1）方程f（x）=0有实数根；（2）＜＜；（3）设x1，x2是方程f（x）=0的两个实数根，则≤

5、

6、＜．分析：（1）因为函数的系数含字母，所以要对二次项的系数a是否为0进行分类讨论．在得出a≠0的初步结论后，再依据一元二次方程的判别式进行论证；（2）根据已知条件消去c，再整理成关于的二次不等式，解不等式即可获证；（3）利用根与系数的关系建立与的函数关系式，转化为函数在开区间（－2，－1）上求函数值域的问题求解．证明：（1）若a=0则，，于是f（0）f（1）＝≤0与已知f（0

7、）f（1）＞0矛盾；所以a≠0．于是的判别式为，由条件，消去b，得，所以方程f（x）=0有实数根；（2）由f（0）f（1）＞0，得．由条件a+b+c=0，消去c，得（a+b）（2a+b）＜0．又＞0，所以，解得；（3）由根与系数的关系得，．于是，把看作是关于变量的二次函数，其中，当时函数取最小值，即．因为－2＜＜－1，所以的取值范围是≤（）2＜，于是．评注：注意根据问题本身的特点选择合适的解题方法．解题中要善于将陌生的问题转化为熟悉的问题来解决；要学会因题制宜，恰当地消参数．函数与方程创新题析一．非常规函数问题例1、定义在R上的奇函数f（x）满足：当

8、x>0时，，则方程f（x）＝0的实根个数为（）A、1B、2C、3D、5解：方程f（x）＝0的实根个数即为函数f（x）的零点个数；当x>0时，的零点即为方程f（x）＝0的实根个数，进一步转化为函数和交点的个数，如图易知x>0时有1个交点；由f（x）是定义在R上的奇函数，知f（0）＝0；由奇函数的性质可知：当x<0时，也有1个零点，因此共有3个零点，即方程有3个实根，故选C.点评：解本题的关键是先由函数零点的本质把当x>0时，方程f（x）＝0的实根个数函数的零点个数和图像的交点个数；然后再结合奇函数的性质得到方程在R上的实根个数。二．新定义函数问题例2、

9、若在区间D上，函数g（x）的图像恒在函数f（x）图像的下方，则称函数g（x）的图像在区间D上被函数f（x）的图像覆盖，判断函数在区间（1，2）上能否被函数的图像覆盖，并说明理由。分析：由“被覆盖”的定义，可知在区间D上函数f（x）和g（x）的图像不应有公共点，即函数f（x）－g（x）在区间D上不应有零点，于是我们可用有零点的条件：判断是否被覆盖。解：令，则有F（1）＝1，F（2）＝－2，所以，所以函数在区间（1，2）上一定有零点，即函数f（x）和g（x）的图像在（1，2）上一定有公共点，所以函数在区间（1，2）上不能被函数的图像覆盖。点评：本题巧借新

10、定义“被覆盖”，考查了函数有零点的条件：的应用，同时体现了函数与方程的亲密无间、并蒂相联的关系。例3、用二分