容斥问题 - 公式 文氏图

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1、目前公考考察行测数学运算方面一个特别普遍的考试题型就是集合容斥问题，2006年以前还只是考察两集合的容斥问题，题目也在简单层面上，解答方式比较单一和简单，但是随着行测难度的加大，出现了三集合的容斥问题，难度和解题时间都加大了，考生普遍反映比较难以应付。并且此类问题是每年必考的题型，专家经过分析确定，现对此类题目进行汇总：　　1、公式法：适用于条件与问题都可直接代入公式的题目。利用公式法解决问题时要注意公式中每个字母所代表的含义，这是我们经常容易出错的地方。　　(1)两个集合：　　涉及到两个集合的容斥原理的题目相对比较简单，可以按照下面公式代入计算：　　1都 的个数+ 2都  的

2、个数－1、2都的个数＝  总 －  1、2都不 的个数　　都：满足该条件的集合数。　　(2)三个集合：　　｜A∪B∪C｜=｜A｜+｜B｜+｜C｜-｜A∩B｜-｜B∩C｜-｜C∩A｜+｜A∩B∩C｜　　2.韦恩图法：用图形来表示集合关系，变抽象文字为形象图示。因其具有直观性，便捷性和可行性，因此我们推荐首选文氏画图解题。　　(1)两个集合：　　(2)三个集合：　　针对历年的真题进行讲解。　　例1:2005年国考一卷第45题　　对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有1

3、8人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有12人，则只喜欢看电影的有(　　)。　　A.22人       B.28人      C.30人       D.36人　　解析：设A=喜欢看球赛的人(58)，B=喜欢看戏剧的人(38)，C=喜欢看电影的人(52)，则有：　　A∩B=既喜欢看球赛的人又喜欢看戏剧的人(18)　　B∩C=既喜欢看电影又喜欢看戏剧的人(16)　　A∩B∩C=三种都喜欢看的人(12)　　A∪B∪C=看球赛和电影、戏剧至少喜欢一种(100)　　由集合运算公式可知：C∩A=A+B+C-(A∪B∪C+A∩B+B∩C-A∩B∩C)　　=148-(100

4、+18+16-12)=26　　所以，只喜欢看电影的人=C-B∩C-C∩A+A∩B∩C　　=52-16-26+12　　=22　　注：这道题运用公式运算比较复杂，运用文氏画图法我们很快就可以看出结果。文氏解法如下：　　由题意知：（40-x）+x+(36-x)+6+12+4+16=100，解得x=14；则只喜欢看电影的人有36-x=22。　　例2:2005年国考二卷第45题　　外语学校有英语、法语、日语教师共27人，其中只能教英语的有8人，只能教日语的有6人，能教英、日语的有5人，能教法、日语的有3人，能教英、法语的有4人，三种都能教的有2人，则只能教法语的有(　　)。　　A.4人 

5、    B.5人     C.6人     D.7人　　解析：首先采用公式法解决此题，设A=英语教师（8+5+4-2=15），B=法语教师，C=日语教师（6+5+3-2=12）,(但应注意的是在做题之前，我们首先必须了解公式中A,B,C三个集合所代表的含义，并非A=8,C=6.),则　　C=A∪B∪C-A-C+A∩B+B∩C+C∩A-A∩B∩C　　=27-15-12+5+3+4-2=10，那么只能教法语的教师=10-3-4+2=5　　另外，此题如果用韦恩图法会相当简单，设只能教法语的人数为X,则依题意得韦恩图(见下图)：　　由题意我们有27=8+3+6+2+2+1+X,解得X=

6、5。　　例3:2010年国考第47题　　.某高校对一些学生进行问卷调查。在接受调查的学生中，准备参加注册会计师考试的有63人，准备参加英语六级考试的有89人，准备参加计算机考试的有47人，三种考试都准备参加的有24人，准备选择两种考试都参加的有46人，不参加其中任何一种考试的都15人。问接受调查的学生共有多少人？（  ）　　A.120              B.144              C.177              D.192　　解析：同上，我们可以直接利用三个集合并的运算来解决这个集合问题，公式如下：　　A∪B∪C=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩

7、B∩C,但是这里的"准备选择两种考试都参加的有46人"并不是我们所说的A∩B+A∩C+B∩C，A∩B+A∩C+B∩C中还包含着选择三种考试的人即A∩B∩C，因此A∩B+A∩C+B∩C=46+A∩B∩C*3=118，这样A∪B∪C=63+89+47-118+24=105，总人数为105+15=120.　　另外我们也可以用韦恩图：　　依题意可得：　　A+D+E+G=63　　B+D+F+G=89　　C+E+F+G=47　　D+E+F=46　　设参加人数为N，则有N=A+B+C+D+E+F+G+15