2018版高中数学人教b版必修四学案1.2.4 诱导公式（一）

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1、1.2.4　诱导公式(一)[学习目标]　1.了解三角函数的诱导公式一～三的意义和作用.2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题．[知识链接]1．对于任意一个角α，与它终边相同的角的集合应如何表示？答　所有与α终边相同的角，连同α在内，可以构成一个集合：S＝{β

2、β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．2．设α为任意角，则π＋α，－α，π－α的终边与α的终边之间有什么对称关系？答　相关角终边之间的对称关系π＋α与α关于原点

3、对称－α与α关于x轴对称π－α与α关于y轴对称[预习导引]1．(1)角α与α＋k·2π(k∈Z)的三角函数间的关系cos(α＋k·2π)＝cos_α，sin(α＋k·2π)＝sin_α，tan(α＋k·2π)＝tan_α.(一)(2)角α与－α的三角函数间的关系cos(－α)＝cos_α，sin(－α)＝－sin_α，tan(－α)＝－tan_α.(二)(3)角α与α＋(2k＋1)π(k∈Z)的三角函数间的关系cos[α＋(2k＋1)π]＝－cos_α，sin[α＋(2k＋1)π]＝－sin_α，tan[α＋(2k＋1)π

4、]＝tan_α.(三)2．2kπ＋α(k∈Z)，α＋(2k＋1)π，－α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.简记为“函数名不变，符号看象限”！要点一　给角求值问题例1　求下列各三角函数式的值：(1)sin1320°；　(2)cos；　(3)tan(－945°)．解　(1)方法一　sin1320°＝sin(3×360°＋240°)6＝sin240°＝sin(180°＋60°)＝－sin60°＝－.方法二　sin1320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°)＝－sin

5、(180°－60°)＝－sin60°＝－.(2)方法一　cos＝cos＝cos＝cos(π＋)＝－cos＝－.方法二　cos＝cos＝cos＝－cos＝－.(3)tan(－945°)＝－tan945°＝－tan(225°＋2×360°)＝－tan225°＝－tan(180°＋45°)＝－tan45°＝－1.规律方法　此问题为已知角求值，主要是利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数求解．如果是负角，一般先将负角的三角函数化为正角的三角函数．跟踪演练1　求sin·cos的值(n∈Z)．解　①当n为奇数时，原式＝si

6、n·＝sin·＝sin·cos＝×＝.②当n为偶数时，原式＝sin·cos＝sin·cos＝sin·＝－.要点二　给值求值问题例2　已知cos(α－75°)＝－，且α为第四象限角，求sin(105°＋α)的值．解　∵cos(α－75°)＝－<0，且α为第四象限角，6∴α－75°是第三象限角．∴sin(α－75°)＝－＝－＝－.∴sin(105°＋α)＝sin＝－sin(α－75°)＝.规律方法　解答这类给值求值的问题，首先应把所给的值进行化简，再结合被求值的式子的特点，观察所给值的式子与被求式的特点，找出它们之间的内在联系

7、，特别是角之间的关系，恰当地选择诱导公式．跟踪演练2　已知cos(π＋α)＝－，π<α<2π，求sin(α－3π)＋cos(α－π)的值．解　∵cos(π＋α)＝－cosα＝－，∴cosα＝，∵π<α<2π，∴<α<2π，∴sinα＝－.∴sin(α－3π)＋cos(α－π)＝－sin(3π－α)＋cos(π－α)＝－sin(π－α)＋(－cosα)＝－sinα－cosα＝－(sinα＋cosα)＝－＝.要点三　三角函数式的化简例3　化简下列各式：(1)(k∈Z)；(2).解　(1)当k＝2n(n∈Z)时，原式＝＝＝＝－1

8、；当k＝2n＋1(n∈Z)时，原式＝6＝＝＝－1.综上，原式＝－1.(2)原式＝＝＝＝＝－1.规律方法　三角函数式的化简方法：(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数．(2)常用“切化弦”法，即表达式中的切函数通常化为弦函数．(3)注意“1”的变式应用：如1＝sin2α＋cos2α＝tan.跟踪演练3　化简下列各式：(1)；(2).解　(1)原式＝＝＝1.(2)原式＝＝＝＝.1．求下列三角函数的值：(1)sin690°；(2)cos；(3)tan(－1845°)．解　(1)sin690°＝sin(360°

9、＋330°)＝sin330°＝sin(180°＋150°)＝－sin150°＝－sin(180°－30°)6＝－sin30°＝－.(2)cos＝cosπ＝cos(6π＋π)＝cosπ＝cos＝－cos＝－.(3)tan(－1845°)＝tan(－5×360°－45°)＝tan(－45°)＝－tan45°