2017-2018学年高中数学苏教版选修2-3教学案2.5.1 离散型随机变量的均值

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1、_2.5随机变量的均值和方差2．5.1　离散型随机变量的均值设有12个西瓜，其中4个重5kg,3个重6kg,5个重7kg.问题1：任取一个西瓜，用X表示这个西瓜的重量，试想X的取值是多少？提示：x＝5,6,7.问题2：x取上述值时，对应的概率分别是多少？提示：，，.问题3：试想西瓜的平均质量该如何表示？提示：5×＋6×＋7×.1．离散型随机变量的均值(或数学期望)(1)定义：若离散型随机变量X的概率分布为Xx1x2…xnPp1p2…pn则称x1p1＋x2p2＋…＋xnpn为离散型随机变量X的均值或数学期望，也称为X的概率分布的均值，

2、记为E(X)或μ，即E(X)＝μ＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn.其中，xi是随机变量X的可能取值，pi是概率，pi≥0，i＝0,1,2，…，n，p1＋p2＋…＋pn＝1.(2)意义：刻画离散型随机变量取值的平均水平和稳定程度．2．两种常见概率分布的均值(1)超几何分布：若X～H(n，M，N)，则E(X)＝.(2)二项分布：若X～B(n，p)，则E(X)＝np.1．随机变量的均值表示随机变量在随机试验中取值的平均水平，又常称随机变量的平均数，它是概率意义下的平均值，不同于相应数值的算术平均数．122．离散型随机变量的均值反映了离散

3、型随机变量取值的平均水平，它是一个常数，是随机变量的多次独立观测值的算术平均值的稳定性，即由独立观测组成的随机样本的均值的稳定值．而样本的平均值是一个随机变量，它随着观测次数的增加而趋于随机变量的均值．求离散型随机变量的数学期望[例1]　已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．(1)求取出的4个球均为黑球的概率；(2)求取出的4个球中恰有1个红球的概率；(3)设X为取出的4个球中红球的个数，求X的分布列和数学期望．[思路点拨]　首先确定X的取值及其对应的概率，然

4、后确定随机变量的概率分布及数学期望．[精解详析]　(1)设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件A，“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件B.由于事件A，B相互独立，且P(A)＝＝，P(B)＝＝.故取出的4个球均为黑球的概率为P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝.(2)设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件C，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D.由于事件C，D互斥，且P(C)＝·＝，P(D)＝·＝.故取出的4个球中恰有1个红球的概率

5、为P(C＋D)＝P(C)＋P(D)＝＋＝.12(3)X可能的取值为0,1,2,3.由(1)，(2)得P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝3)＝·＝.从而P(X＝2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝3)＝.所以X的分布列为X0123P故X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.[一点通]　求离散型随机变量X的均值的步骤：(1)理解X的意义，写出X可能取的全部值；(2)求X取每个值的概率；(3)写出X的概率分布表(有时可以省略)；(4)利用定义公式E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn求出均值．1．(广东高考)已

6、知离散型随机变量X的分布列为X123P则X的数学期望E(X)＝________.解析：E(X)＝1×＋2×＋3×＝.答案：2．若对于某个数学问题，甲、乙两人都在研究，甲解出该题的概率为，乙解出该题的概率为，设解出该题的人数为X,求E(X)．解：记“甲解出该题”为事件A，“乙解出该题”为事件B，X可能取值为0,1,2.P(X＝0)＝P()＝P()·P()12＝×＝，P(X＝1)＝P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝×＋×＝，P(X＝2)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝.所以，X的分布列如下表：X012P故E(X)＝

7、0×＋1×＋2×＝.超几何分布及二项分布的数学期望[例2]　甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为，记甲击中目标的次数为X，乙击中目标的次数为Y.(1)求X的概率分布；(2)求X和Y的数学期望．[思路点拨]　甲、乙击中目标的次数均服从二项分布．[精解详析]　(1)P(X＝0)＝C3＝；P(X＝1)＝C3＝；P(X＝2)＝C3＝；P(X＝3)＝C3＝.所以X的概率分布如下表：X0123P(2)由(1)知E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1.5，12或由题意X～B，Y～B，所以E(X)＝3×＝1.5，E

8、(Y)＝3×＝2.[一点通]　超几何分布和二项分布是两种特殊的而且应用相当广泛的分布列，解题时如果能发现是这两种分布模型，就可以直接利用规律写出分布列，求出均值．3．某运动员投篮命中率为p＝0.6.(1)求一次投篮时命中次数X的数学期