[北京大学《量子信息物理原理》课程讲稿]（iii）

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1、[北京大学《量子信息物理原理》课程讲稿]（III）§1.4,广义测量与POVM1，开放系统的广义测量通过把与所考虑系统有相互作用的外部系统都计算进来，构成足够大系统的办法，总能以足够好的近似将这个大复合系统看作是孤立体系。人们知道，或者准确些说是相信，孤立系量子测量必定是正交投影测量。因此可以说，对如此构成的大系统中某一组相互对易力学量完备组进行的量子测量，必定是正交投影测量。就是说，测量所得的必定是这个完备组共同本征态的量子数，测量所实现的也必定是向这个完备组相互正交共同本征态的投影。以前的量子力学都是针对封闭系统的。现在研究开放系统也就是子系统的量子力学。

2、注意，大系统的一组相互正交的本征态族在子系统所属子空间中的对应态未必仍然相互正交！于是可以设想，不知道（根本不知道、不想知道、难以知道）大系统、只知道子系统（！）的观察者会认为：通常情况下的量子测量将投影出一组非正交态，而不是一组正交态。这就是通常所说的“广义测量不一定是正交投影”的原故。广义测量是指，在一个由若干子系统组成的大系统上进行正交测量时，在局部的子系统上所实现的局限性测量，称为广义测量，又称为局域测量。从大系统的角度来看，现在的子系统是个开放系统，对其进行的观测是片面的观测、局部的观测。广义测量也可以说成是对开放系统的量子测量。总括起来，开放系统的

3、量子力学，包括开放系统的量子测量，出现三个新特点：a）量子态可能是混的；b）量子演化可能是非幺正的、不可逆的；c）量子测量可能是非正交投影分解—POVM。POVM直译是“正算符取值测度”，是个重要概念。将它表示出来为(1.11)POVM是以前针对封闭系统的vonNeumann正交投影向开放系统的推广，是完全测量向非完全测量的推广。简明地说，在大系统上进行正交测量时，在子系统中所观察到的非正交投影就是一组POVM，在子系统中实现的测量称为广义测量。其实，按POVM的含意，全称应当是“单位算符的非正交测度分解”。下面会举例详细说明。2，局域测量——POVMi,直和

4、解释：空间正交测量在子空间中表现假设所关心的态空间是一个更大的直和空间(1.12)的一部分（设的基是，的基是）。有正交基。设是中的一个可观察量，于是有以下正交分解关系（1.13）(1.14)这里。注意，不同值的虽然彼此正交，但它们在子空间中投影部分，也即从子空间中看，这些态不一定正交归一。将态归一化记为。按，设，(1.15)注意，同时有。现在假设，在大空间中对子空间中的一个态执行向基矢的正交投影测量。这些测量，从“生活”在中的观察者来看，只得到以概率（注意不属于，其作用为零）（1.16a）获得测量结果和态。特别是，在测出值以后，塌缩投影过去的这些测量末态不见得

5、彼此正交！设是子空间的单位算符，它也是大空间向子空间的投影算符。利用它可将中的正交投影算符系列向投影。即，定义中的一组算符(1.17)利用定义（1.17）式，可以把（1.16a）式，即从中观察所得结果为的概率重新表达为(1.16b)这些显然是厄密的、非负的，但迹却不一定为1（），而且也不一定彼此正交，所以不能算是正交投影算符系列。然而，它们总和等于子空间中的单位算符(1.18)因此，这些在子空间中执行着类似于在空间中的投影分解任务，但它们却不是正交投影。于是推广开来看，可以引入如下定义：[定义]系统A的一个POVM（positiveoperatorvalued

6、mesure[2、3]、[8]p.90、[13]p.287）是一组不一定彼此正交，但总和等于系统单位算符的非负、厄密算符序列，（1.19）换句话说，POVM是将系统的单位算符用一组不一定彼此正交的正值算符序列进行分解，简单地说，系统单位算符的一种非正交测度分解。这里态是系统A的任意态。根据这里的广义测量理论，当对中态作广义测量时，相应每个测量结果的概率由(1.16a、b)式表示。特别是，有为保证概率正定和总概率为1，的正定性和都是必需的。由于任何投影算符的平方等与它自己，所以开根也是它自己。而这里正属于投影算符，于是在广义测量前后，态的改变是(1.20)（1.

7、20）式是正交投影情况（）向POVM情况的推广。注意，由于“是大空间的向子空间的投影”，所以有的维数数目数目=维数和（1.21）个数可能多于的维数是因为，它们完备但彼此却不一定正交；而个数可能少于的维数是因为，可以有这样的，它只向正交子空间投影，于是与这种相应的便是零。这个POVM名词最初来源于文献[9]。该文首次引入广义测量概念来分辩一些非正交的态。ii）直积解释：空间正交测量在子空间中表现假设考虑一个维系统，处在态上。并假设另有一个辅助系统（常称为“附属系统”，其维数这里并不重要，予以略去）处在已知态上。设这两个子系统组成一个“未关联”的张量积的大系统，初

8、态为。现在对这个张量积系统进行某种正交