图论及其算法的研究

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1、重庆邮电大学研究生堂下考试答卷2011-2012学年第二学期考试科目：图论及其算法专业：信息与通信工程2012/12/7摘要：本次论文首先介绍了图论中的最大流算法，然后主要研究了其应用到解决通信网中从源端到宿端可能达到的最大流量的计算过程。网中的各条通信线路归为一个图的模型之后，写出该图的邻接矩阵后，确定该图的割量从而求出最大流量的值。进而用代码实现算法，最后在VC++6.0的编译环境下调试并对该算法作了进一步的优化展望。关键词：最大流算法邻接矩阵割量VC++6.0第一章引言1.1图论的相关展述图论是一门发展迅速而又广泛应用的学科。它广泛地应用于物理、化学、运筹学、计算机科学、信息论、

2、网络理论等几乎所有的学科领域。另一方面，随着这些学科的发展，特别是计算机科学的快速发展，有大大促进了图论的发展。运用图论知识解决实际问题，有着非常独特与聪明之处。基于此，本次论文便是应用图论中的最大流算法，来解决实际通信网络中从源端到宿端可能达到的最大流量的计算[1]。1.2通信网中的最大流问题网的作用主要是将业务流从源端送到宿端。常见的有商品在运输网中的传递，邮件在邮政网中的分发，信息在通信网中的输送。为了充分利用网资源，包括线路、转接设备等，总希望合理的分配流量，以使从源到宿的流量尽可能大，传输代价尽可能小等。流量分配的好坏将直接关系到网的使用效率和相应的经济效益，是网运行的重要指

3、标之一。网内流量的分配并不是任意的，它受限于网的拓扑结构、边和端的容量，所以流量分配实际上是在某些限制条件下的优化问题。比如说，要研究信息网络中对信息的传输能力，很显然这些网络都具有源端(发点)和宿端(收点),且每一弧都有明确的最大通过能力(容量)。但是由于网络配置的原因,各弧的实际能力往往达不到各弧的最大通过能力。利用标号算法求解网络最大流是目前最优秀的算法之一。通过该算法能够计算出实际通过最大能力即网络的最大流量问题，可以充分发挥网络的设备能力,且能够明确得知如何改造网络可以使得最大流量增大。第二章网络流相关概念2.1对相关概念的简单阐述2.1.1流网络(FlowNetwok)(1

4、)流网络图：流网络图G=(V,E)是一个有向图，其中每条边(u,v)∈E均有一非负容量c(u,v)≥0。如果(u,v)∉E,则假定c(u,v)＝0。流网络中有两个特别的顶点：源端s和宿端t[2]。图1.1一个网络流的例子，边上的数字表示该弧的容量(2)流(Flow)：用fij表示该弧(由顶点i到顶点j的弧)上的当前通信流量，用cij表示该弧上的最大通信容量。那么fij＝cij的前向边称为饱和边；fij≤cij的前向边称为非饱和边；反向边则分为零流量和非零流量。(3)割：流网络G=(V,E)的割(S,T)将顶点集V划分成S和T=V-S两部分，使得s∈S，t∈T。定义割(S,T)的容量为c

5、(S,T)下面是一个割的例子：图1.2一个割的例子，割的容量为2+2+1+6=11(4)可增流路：从Vs→Vt的一条路径P中，如果所有的前向边都未饱和，所有的反向边都是非零流量，则此条路径称为可增流路。可增流路的性质：在可增流路上，所有正向边的流量均可增加不致破坏流量的有限性；所有反向边上均可减流不致破坏非负性；可减流路上的减流相当于正向边上增流；含有多条边的可增流链路上的增流（包含反向边上减流）的最小值，应当是：此处eij代表链路中的正向边，eji代表反向边。可增流路在增流以后（反向边上减流），可得一新的可行流并使源宿端间的流量增加。如果可行流｛fij｝已经使得源宿端间的流量得到最大

6、值，则从Vs－Vt的每一条路上，至少有一个饱和的前向边，或一个零流的反向边，也就是不存在一条可增流（可减流）的路。(5)增广路径：对于残留网络中中的一条s-t路径p，我们称其为增广路经，定义增广路径p的残留容量为p上弧容量的最小值。增广路径时求最大流中一个很重要的概念。(6)增广：对于一条增广路径P，增广的意思就是对于每一条属于P的弧(i,j)，将fij增加p的残留容量，将fji减少p的残留容量。这样新的流fij就得到了增广。2.1.2相关定理(1).最大流量－最小割量定理：当源宿间的流量达到最大，每个割集中的前向流量都等于最大流量Fmax，并且总存在这样一个割集，其每条正向边都是饱和

7、的，其割量在各个割集中达到最小值，并且也等于Fmax。第三章最大流的算法3.1算法的基本思想寻找源端到宿端fij可增广的路径，使网络流的流量得到增加，直到达到最大容量为止。算法分2个过程：1是标记过程，通过标记过程找到一条可增广路径；2是增广过程，即沿增广路径增加网络流量的过程。3.2算法及其代码实现3.2.1标记过程(1)本次所设计的程序采用以输入邻接矩阵形式代替输入网络图，在邻接矩阵上上直接给出流量矩阵。两者结合就构成了一个网络图的数字实现