临场发挥引出的“尴尬”

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1、临场发挥引出的“尴尬”——记对一道习题的发散思考地址：重庆市七十九中学数学组邮编：400051电话：13638331460单位：重庆市第七十九中学陈建明相信有许多老师在教学生涯中有很多时候都有“临场发挥”，但绝大多数时候都能游刃有余的解决“发挥”出来的新问题。但我却在对一道普通题目的发挥中跳进了自已给自已挖的“坑”。在人教版2008年3月第2版的《数学》八年级下27页复习题有一道这样的题：证明：如果两个三角形有两条边和其中一条边上的中线对应相等，那么这两个三角形全等。对此题的证明是要求按文字命题解决步骤，即第一步分清已知（题设）和求证（结论），第二步画出适当图形，第三步

2、根据图形用数学符号表示已知与求证，第四步写证明。在解决完这个题目后，我提示学生们，这条中线是否可以改为第三边的中线，于是得到下面的命题：发散一：如果两个三角形有两条边和第三条边上的中线对应相等，那么这两个三角形全等。对于这个命题，我通过和学生共同探讨得到如下解决方法：已知：如图1，在△ABC和△A′B′C′中，AB=A′B′，AC=A′C′，AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的中线，且AD=A′D′。求证：△ABC≌△A′B′C′图1在这里，我仅给出对证明思维的简略说明，如下图2所示，分别延长AD至E，A′D′至E′，且使得AD=DE，A′D′=D′E′，连接

3、BE，B′E′，从而易得△ABE≌△A′B′E′，故易得BD=B′D′，从而有BC=B′C′，则由“SSS”可得△ABC≌△A′B′C′。图2这时，学生觉得这个发散一更有意思，对思维提出了更高的要求。我又接着问：三角形中有哪些重要的线段，你们还能对这个命题作何种改编。在上面的基础上，学生很容易得到了如下两个命题：发散二：如果两个三角形有两条边和其中一条边上的高线对应相等，那么这两个三角形全等。发散三：如果两个三角形有两条边和第三条边上的高线对应相等，那么这两个三角形全等。对于发散二、发散三，我们容易用如下图3，图4构造反例进行否定，从而确认为假命题。4图3图4至此，三角

4、形中三种重要线段只剩下内角平分线了，在我的引导下，学生们也类似地得出了如下命题：发散四：如果两个三角形有两条边和这两边夹角的角平分线对应相等，那么这两个三角形全等。发散五：如果两个三角形有两条边和其中一边对角的角平分线对应相等，那么这两个三角形全等。但是，当我在黑板上画出图形，要求同学们和我一起来思考如何证明时，我发现用初二的知识证明很困难了，就这样被“尴尬”的“挂”在黑板上。但是我想，对于这个命题的正确与否，我必须给学生一个“交代”。下课之后，我对这两个命题作了探究：对于发散四，先把它改写成如下形式：已知，如图5，在△ABC和△A′B′C′中，AB=A′B′，AC=A

5、′C′，AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的角平分线，且AD=A′D′。求证：△ABC≌△A′B′C′图5证明：如图6，分别过C、C′作CE∥AD交BA延长线于E，作C′E′∥A′D′交B′A′延长线于E′，∵AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的角平分线，∴∠BAD=∠CAD，∠B′A′D′=∠C′A′D′，∵CE∥AD，∴∠E=∠BAD，∠ACE=∠CAD，∴∠E=∠ACE，∴AE=AC，同理可证A′E′=A′C′，∵AB=A′B′，AC=A′C′，∴BE=B′E′，又由角平分线内分线段成比例定理可知：，∵CE∥AD，∴，同理可得：，∴=，∵AD=

6、A′D′，∴CE=C′E′，∴△ACE≌△A′C′E′（SSS），∴∠E=∠E′，∴△BCE≌△B′C′E′（SAS）∴BC=B′C′，∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）4图6但是，对于发散五，我试着作了几种方法，“左冲右突”都还不能解决，但我坚信是一个真命题，于是想到了那几个平面几何的著名定理，如塞瓦定理、梅涅劳斯定理、斯特瓦尔特定理等，看能不能借助这些定理来证明此命题的真假。于是发现了斯特瓦尔特定理有一个推论与角平分线相关，于是利用它终于将此命题证明。为了方便应用，先将斯特瓦尔特定理及其推论介绍如下：斯特瓦尔特定理：如图7，△ABC的边BC上任取一点D，若BD=u

7、，DC=v，AD=t，则有：。（注：其证明可在一些数奥资料上查阅。）图7特别地：当AD是△ABC的角平分线时，由三角形内角平分线分线段成比例定理可知：u=，v=，从而得到角平分线长度公式：AD=t=bc－。现将发散五写成如下形式：已知，如图8，在△ABC和△A′B′C′中，AB=A′B′=c，BC=B′C′=a，AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的角平分线，且AD=A′D′。求证：△ABC≌△A′B′C′图8证明：设AC=b，A′C′=b′，则由斯特瓦尔特定理推论可得：AD=bc－，A′D′=b′c－，∵AD=A′D′，∴（bc