三线八角学习和识别的方法指引

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1、用图形分离法学习“三线八角”图形分离法就是面对一个比较复杂的图形时，从解题需要的角度出发，在保持图形中各元素（点、线、角等）相对位置不变的情况下，提取出原图的一部分来进行分析问题的解题方法。分离出来的图形，与原图相比，肯定要简单些，少了许多来自于一些不相干的图形元素的干扰，比较容易找到解题的突破口。图形简化了，难题就不难了，看着简化图形，结合基本知识，诸多问题便可迎刃而解了。ABCDEF43128756图1如图1，直线AB、CD与EF相交（也可以说两条直线AB、CD被第三条直线EF所截），形成了8个小于平角的角，我们通常将这样的几何模型简

2、称为“三线八角”。这8个角中，有些角是有公共顶点的，如∠1与∠3,∠5与∠8等，本文所探讨的是另一类角，如∠1与∠5，∠3与∠5,∠4与∠5等，这几对角没有公共的顶点，但都存在一边共线，也就是说每一个角都有一条边在直线EF上，即“同位角、内错角、同旁内角”，这是本章知识的重点，也是难点，对这一知识掌握的好与坏将直线影响到后续知识的学习。实践证明，“图形分离法”在这里就能大显身手，使教与学的活动收到了事半功倍的效果。在讲授“同位角、内错角、同旁内角”的基本概念时，为了能让学生比较直观地识别出这三种角，我就将图1分离出图2这些比较简单的图形。

3、再由图形的象形特征，指出这8个分离图形中有三类，分BDEF15图284DBCAE62FCA73（F型）（Z型）（U型）35463546ADCBCABD别是“F型”、“Z型”、“U型”，分别对应于同位角、内错角、同旁内角。这样一来，学生自然就容易掌握了。在学完“同位角、内错角、同旁内角”的基本概念后，为了使学生加深理解，必然要进行一系列的练习。纵观所有的练习题，不外乎以下三类：（1）指出图中某一对角是同位角、内错角还是同旁内角；（2）指出图中某一个角的所有同位角、内错角和同旁内角；（3）指出图中所有的同位角、内错角和同旁内角。下面就分这三类

4、，分别介绍如何利用“图形分离法”来求解。类型一：指出图中某一对角是同位角、内错角还是同旁内角。图3MNABECFD1452396781011【例1】如图3，∠1与∠6是直线____与直线____被直线____所截而形成的___________角。图4AEBC16这类题目相对来讲，是最简单的了。要得出正确答案，只要找到∠1与∠6的边，将图形分离出来，便会一目了然了。如图4，不难看出，这是属于“Z型”，于是，就可以得出答案：∠1与∠6是直线AC与直线EB（或EF）被直线AB（或AD）所截而形成的内错角。类型二：指出图中某一个角的所有同位角、内

5、错角和同旁内角。第5页（共5页）【例2】如图3，指出∠1的所有同位角、内错角和同旁内角。〖分析〗我们知道，“三线八角”中的同位角、内错角和同旁内角都有一个共同特征，那就是有一边共线，即每一对角都有两条边与截线在同一直线上。因此，∠1的两条边AD与AC都可能是“三线八角”中的截线，所以在解这道题时，要分两种情况考虑，一是把AD看成截线，二是把AC看成截线，相应的另一边则是被截线之一，再分别画出分离图形。图5ABECFD12678如果把AD看成截线，则是直线AC、EF被直线AD所截（这时，以点C为顶点的角就不用管了），分离图形如图5，不难看出

6、，∠1与∠8是同位角，∠1与∠6是内错角，∠1与∠2是同旁内角。图6ABECFD139如果把AC看成截线，则是直线AD、EF被直线AC所截（这时，以点B为顶点的角就不用管了），分离图形如图6，不难看出，∠1与∠9是内错角，∠1与∠3是同旁内角。综上所述，就可以得到以下解答：〖解〗∠1的同位角有：∠8　　　∠1的内错角有：∠6、∠9　　　∠1的同旁内角有：∠2、∠3类型三：指出图中所有的同位角、内错角和同旁内角。【例3】如图3，指出图中所有的同位角、内错角和同旁内角。〖分析〗解答这类题目的关键是找准截线，而且图中的每一条线（直线、身线或线段

7、）都有可能成为截线，这要具体问题具体分析。一条线能否成为截线，就要看能否找到另两条线与这条线相交，并且有两个交点，如果能找到，则可以看成截线，否则，就不能看成截线。如图3中的直线MN，与AD、AC都相交，但只有一个交点A，这时，EF就不是截线了。图8ABECFD12678图7MNABEFD5267810图9MNAECF43911图3中共有4条线，只有AD、AC、EF可以看成截线，即MN、EF被AD所截（图7）；AC、EF被AD所截（图8）；MN、EF被AC所截（图9）；AD、EF被AC所截（图10）；AD、AC被EF所截（图11），分别画

8、出分离图形如下：图10ABECFD139图11ABECFD239678第5页（共5页）以上各图中的同位角、内错角和同旁内角如下表所示：图7图8图9图10图11同位角∠5与∠7∠10与∠8∠1与