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时间:2018-08-03
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1、五个有趣的拓扑变换问题 如果你喜欢那个空间想象能力挑战,你一定会喜欢V.V.Prasolov的IntuitiveTopology一书。书中的第一章有五个非常经典的“拓扑变换”类谜题,在此与大家分享。注意游戏规则:我们假设所有物体都是用橡胶做成的,可以随意地拉伸、挤压、弯曲,但不允许切断、粘连等任何改变图形本质结构的操作。 1.能否把左图连续地变形为右图? 2.能否把左图连续地变形为右图? 3.左图所示的立体图形表面画有一个圆。能否通过连续变换,把这个圆变到右图所示的位置? 4.在一个轮胎的表面上打一个
2、洞。能否通过连续变换,把这个轮胎的内表面翻到外面来? 5.能否把左图连续地变形为右图? 1.能否把左图连续地变为右图? 答案是可以的,如下图所示: 这意味着,假如人类的身体可以像橡胶人一样任意变形,那么用两手的拇指和食指做成两个套着的圆环之后,我们可以不放开手指,把圆环给解开来。AlgorithmicandComputerMethodsforThree-Manifolds一书里画了一张非常漂亮的示意图: 更加有趣的是,如果仅仅是手腕上多了一块手表,上
3、述方案就不能得逞了: 2.能否把左图连续地变为右图? 答案是可以的,如下图所示: 3.左图所示的立体图形表面画有一个圆。能否通过连续变换,把这个圆变到右图所示的位置? 答案是可以的,如下图所示: 4.在一个轮胎的表面上打一个洞。能否通过连续变换,把这个轮胎的内表面翻到外面来? 答案是可以的。首先,作出如下图所示的连续变换。可以看到,一个表面有洞的轮胎本质上等于两个粘在一起的纸圈!不过,注意纸圈1和纸圈2的地位不太一样:一个是白色的面(即最初轮胎的内表面)
4、冲外,一个是阴影面(即最初轮胎的外表面)冲外。现在,把纸圈2当成原来的纸圈1,把纸圈1当成原来的纸圈2,倒着把它们变回轮胎形,轮胎的内外表面也就颠倒过来了。 有趣的是,把轮胎的内表面翻出来之后,轮胎上的“经线”和“纬线”(姑且这么叫吧)也将会颠倒过来: Wikipedia上有一个巨帅无比的动画,直接展示出了把一个圆环面的内表面翻到外面来的过程。此动画看着非常上瘾,小心一看就是10分钟! 5.能否把左图连续地变为右图? 答案是可以的。首先,作出如下图所示的连续变换,于是就变成了问题1中的图(a)
5、。再利用问题1的办法,即可变出我们想要的形状来。 附:空间想象能力挑战:把左图连续地变换为右图 为了说明“同痕”这一概念直观上并不容易把握,《TheKnotBook》一书中举了一个经典的例子。如下图,左图是一个有三个洞的立体图形,右图是被挖出了三条通道的立方体(但其中一个通道在另一个通道上缠绕了一圈)。令人难以置信的是,两者之间竟然是同痕的,换句话说前者可以连续地变形成为后者。你能想象出这个变换过程吗? 下面是其中一种想象的方法(选中显示):从右图出发,让左起第一个通道的两头靠在第二个通道上,并在第二个通道上滑动。把上面的那头沿着第二个通
6、道滑到底面,把下面的那头沿着第二个通道滑到顶面,你会发现此时立方体内的通道不再打结了。接下来,把通道都拉直,把整个立方体拍扁了捏一捏,很容易就变成左图了。
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