2009年新知杯上海初中数学竞赛参考解答

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1、智浪教育--普惠英才文库2009年新知杯上海市初中数学竞赛参考解答一、填空题（第1-5小题每题8分，第6-10小题每题10分，共90分）1、对于任意实数a,b，定义,a∗b=a(a+b)+b,已知a∗2.5=28.5，则实数a的值是。【答案】4，2、在三角形ABC中，，其中a,b是大于1的整数，则b-a=。【答案】03、一个平行四边形可以被分成92个边长为1的正三角形，它的周长可能是。【答案】50,944、已知关于x的方程有实根，并且所有实根的乘积为−2，则所有实根的平方和为。【答案】55、如图，直角三角形ABC中,AC=1，BC

2、=2，P为斜边AB上一动点。PE⊥BC，PF⊥CA，则线段EF长的最小值为。【答案】6、设a，b是方程的两个根，c，d是方程的两个根，则(a+c)(b+c)(a−d)(b−d)的值。【答案】27727在平面直角坐标系中有两点P(-1,1),Q(2,2)，函数y=kx−1智浪教育--普惠英才文库的图像与线段PQ延长线相交（交点不包括Q），则实数k的取值范围是。【答案】8方程xyz=2009的所有整数解有组。【答案】729如图，四边形ABCD中AB=BC=CD，∠ABC=78°，∠BCD=162°。设AD,BC延长线交于E，则∠AEB

3、=。【答案】21°10、如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=10，点M在BC上，使得ΔADM是正三角形，则ΔABM与ΔDCM的面积和是。【答案】二、（本题15分）如图，ΔABC中∠ACB=90°，点D在CA上，使得CD=1,AD=3，并且∠BDC=3∠BAC，求BC的长。解：设BC=x，则，，如图，作∠ABD平分线BE，则,因此智浪教育--普惠英才文库。由角平分线定理可知。因此，解得三、（本题15分）求所有满足下列条件的四位数，其中数字c可以是0。解：设,，则，故有整数解，由于10

4、≠0。因此是完全平方数，可设，故，0≤50-t<50+t之和为100，而且其中有11的倍数，只能有50−t=1或50−t=45，相应得到y=1,25，代入解得因此。四、（本题15分）正整数n满足以下条件：任意n个大于1且不超过2009的两两互素的正整数中，至少有一个素数，求最小的n。解：由于这14个合数都小于2009且两两互质，因此n≥15。而n=15时，我们取15个不超过2009的互质合数的最小素因子，则必有一个素数≥47，不失一般性设，由于是合数的最小素因子，因此，矛盾。因此，任意15个大于1且不超过的互质正整数中至少有一个素

5、数。综上所述，n最小是15。五、（本题15分）若两个实数a,b,使得,与智浪教育--普惠英才文库都是有理数，称数对(a,b)是和谐的。①试找出一对无理数，使得(a，b)是和谐的；②证明：若(a，b)是和谐的，且a+b是不等于1的有理数，则a,b都是有理数；③证明：若(a，b)是和谐的，且是有理数，则a,b都是有理数；解：①不难验证是和谐的。②由已知是有理数，是有理数，因此，解得是有理数，当然b=s−a也是有理数。③若，则是有理数，因此也是有理数。若，由已知是有理数，也是有理数，因此，故是有理数，因此也是有理数。