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1、数学题根(13)圆不离“三”方程寻根一、三点定圆的条件“两点线，三点圆”，讲的是确定一条直线只须两点，那么确定一个圆“只须三点”吗?【例1】平面上有A，B，C三点，求作一个圆⊙O，使⊙O同时经过A，B，C三点.【分析】按圆的定义：到定点O的距离等于定长的点的集合.于是产生了“中垂线法”找圆心.【作法】(1)依次连接AB，BC.(2)分别作AB,BC的中垂线m和n.(3)设m和n相交于O,则以O为圆心,以OA为半径的⊙O为所求.【讨论】当m∩n=O时,易知OA=OB=OC.⊙O同时过A,B,C三点.因为中垂线m和n分别唯一,且m,n的交点也唯一,故符合条件的⊙O有且
2、只有一个.当m∩n=φ，即m∥n时，A，B，C三点在同一条直线上.此时m和n的交点O不存在，则圆心O不存在，从而符合条件的圆不存在.【结论】平面上三点确定一个圆的充要条件是：这三点不在同一直线上.易知，三角形有唯一的外接圆.二、圆方程的几何式与代数式按圆的定义和距离公式，容易推得圆方程的几何形式为(x－a)2+(y－b)2=r2其中的三个参数a,b,r对应着“确定圆的三个条件”.圆心O(a，b)含两个条件，半径r只相当1个条件.将圆方程的几何式展开，得圆方程的代数式.x2+y2+Dx+Ey+F=0代数式中也含三个参数D，E，F，也对应着“确定圆的3个条件”：x的一
3、次项的系数，y的一次项系数和常数项.所谓求圆的方程，就是确定参数组a,b,r的值或参数组D，E，F的值.【例2】已知⊙G经过原点，且在x轴正向上的截得的弦长为OA=8，在y轴负向上截得的弦长为OB=6,求圆的方程.【分析】三个条件确定一个圆，本题的三个条件到齐，故圆的方程可以确定.【解1】OA的中垂线x=4与OB的中垂线y=－3相交于G（4，-3）即得圆心G.且（半径）故所求的圆方程的几何式为（x－4）2+(y+3)2=25【解2】设圆方程的代数式为：x2+y2+Dx+Ey+F=0代入已知三点的坐标O(0,0),A(8,0),B(0,－6)得方程组4故所求方程的代
4、数式为：x2+y2－8x+6y=0【点评】本题的已知条件中，所求圆的几何特征明显，故设圆方程的几何式比代数式优越.三、大千变换唯“三”不变求圆的方程，条件给定的方式千变万化，但条件的个数恒定为3.如果说，确定一个圆的基本条件是3个已知点，那么编题人的花招只不过是：把3个“点”中的某1个点，某2个点，甚至全部3个点进行条件的“等价替换”.【例3】已知圆上两点P（－2，4）和Q（3，－1），且圆在x轴上截得的弦长为6.求圆的方程.【分析】“在x轴上截得的弦长为6”这是把“第3点”进行条件等价替换的结果.因为已知点有两个，故考虑圆方程的代数形式.【解答】设圆的方程为：x
5、2+y2+Dx+Ey+F=0(※)代入P，Q两点的坐标得在式（※）中，令y=0得：x2+Dx+F=0设其2个根分别为x1和x2,依题意有：于是得D2－4F=36（3）联立（1），（2），（3）.解得或故所求的方程由x2+y2－2x－4y－8=0或x2y2－6x－8y=0【点评】由式（3）的得出过程可知，演变后的第3个条件.最终相当于1个已知点的作用.四、圆的轨迹也需三点把圆视作轨迹图形，不管通过怎样的过程或方法而得到，其“控制条件”也是三个，其中，两个条件给圆（心）定位，一个条件确定圆（半径）的大小.【例4】设A（－c，0），B（c，0）（c>0）为两定点，动点P
6、到A点的距离与到B点的距离的比为定值a（a>0，且a≠1），求P点的轨迹.【分析】轨迹的控制条件有3个：点A，点B和比值a.如果其轨迹是圆，则条件A，B则（主要）给圆（心）定位，而条件“比值a”（主要）用来确定圆的（半径）大小.【解答】设动点P的坐标为P（x，y）4由=a（a>0），得=a，化简得：（1－a2）x2+2c（1+a2）x+c2（1－a2）+（1－a2）y2=0.当a≠1时，得x2+x+c2+y2=0.整理，得：（x－c）2+y2=（）2所以当a≠1时，P点的轨迹是以（c，0）为圆心，以
7、
8、为半径的圆.【点评】到两定点A和B距离之比为常数a(a>0且a
9、≠1)的点的轨迹是一个圆.圆的直径的两个端点分别是AB线段的内、外两个（比例为a）的分点.五、缺少1点便成圆系3个条件“确定”一个圆，如果缺少1个条件，则这个圆就变得“不确定”.虽是“不确定”，但还有“能确定”的部分.因为它还要经过已知的两个点.从而变成“圆系”问题.特别地，经过两已知圆交点的圆系：λ1(x2+y2+D1x+Ey+F1)+λ2(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0其中，λ1，λ2不同时为0，当λ1+λ2=0时，圆系方程确定了圆系的“根轴”——圆系公共弦所在的直线.【例5】求过直线2x+y+4=0和圆x2+y2+2x－4y+1=0的交点，且满足下列
10、条件之一的
