高中解析几何总结

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1、百科名片  圆锥曲线圆锥曲线包括椭圆，双曲线，抛物线。其统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。当01时为双曲线。圆锥曲线的由来　　两千多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线，并且获得了大量的成果。古希腊数学家阿波罗尼采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线。用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面和圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；当平面再倾斜一些就可以得到双曲线。阿波罗尼曾把椭圆叫“亏曲线”，把双曲线叫做“超曲线”，把抛物线叫做“齐曲线”。事实上，阿波罗尼在其著作中使用纯几何方

2、法已经取得了今天高中数学中关于圆锥曲线的全部性质和结果。定义几何观点　　用一个平面去截一个圆锥面，得到的交线就称为圆锥曲线。　　    通常提到的圆锥曲线包括椭圆，双曲线和抛物线，但严格来讲，它还包括一些退化情形。具体而言：　　1)当平面与圆锥面的母线平行，且不过圆锥顶点，结果为抛物线。　　2)当平面与圆锥面的母线平行，且过圆锥顶点，结果退化为一条直线。　　3)当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，结果为椭圆。　　4)当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，并与圆锥面的对称轴垂直，结果为圆。　　5)当平面只与圆锥面一侧相交，且过圆锥顶点，结果退化为一个点。　　6)当平面与圆锥面两侧都

3、相交，且不过圆锥顶点，结果为双曲线。　　7)当平面与圆锥面两侧都相交，且过圆锥顶点，结果为两条相交直线。代数观点　　在笛卡尔平面上，二元二次方程ax^2+bxy+cx^2+dx+ey+f=0的图像是圆锥曲线。根据判别式的不同，也包含了椭圆，双曲线，抛物线以及各种退化情形。焦点-准线观点　　（严格来讲，这种观点下只能定义圆锥曲线的几种主要情形，因而不能算是圆锥曲线的定义。但因其使用广泛，并能引导出许多圆锥曲线中重要的几何概念和性质。）　　给定一点P，一直线L以及一非负实常数e，则到P的距离与L距离之比为e的点的轨迹是圆锥曲线，根据e的范围不同，曲线也各不相同，具体如下：　　1)e=0，轨迹退

4、化为一点（就是点P）。　　2)0

5、离称为焦准距；焦点到曲线上一点的线段称为焦半径。过焦点、平行于准线的直线与圆锥曲线相交于两点，此两点间的线段称为圆锥曲线的通径。　　圆锥曲线是光滑的，因此有切线和法线的概念。　　类似圆，与圆锥曲线交于两点的直线上两交点间的线段称为弦；过焦点的弦称为焦点弦。　　对于同一个椭圆或双曲线，有两个“焦点－准线”的组合可以得到它。因此，椭圆和双曲线有两个焦点和两条准线。而抛物线只有一个焦点和一条准线。　　圆锥曲线关于过焦点与准线垂直的直线对称，在椭圆和双曲线的情况，该直线通过两个焦点，该直线称为圆锥曲线的焦轴。对于椭圆和双曲线，还关于焦点连线的垂直平分线对称。　　定理(Pappus)：圆锥曲线上一点

6、的焦半径长度等于该点到相应准线的距离乘以离心率。　　定理(Pascal)：圆锥曲线的内接六边形，若对边两两不平行，则该六边形对边延长线的交点共线。（对于退化的情形也适用）　　定理(Brianchon)：圆锥曲线的外切六边形，其三条对角线共点。圆锥曲线的方程和性质1）椭圆(ellipise)　　文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个小于1的正常数e。定点是椭圆的焦点，定直线是椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率。　　标准方程：　　1.中心在原点，焦点在x轴上的椭圆标准方程：(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1　　其中a>b>0，c>0，c^2=a^2-b^2.　

7、　2.中心在原点，焦点在y轴上的椭圆标准方程：(x^2/b^2)+(y^2/a^2)=1　　其中a>b>0，c>0，c^2=a^2-b^2.　　参数方程：X=acosθY=bsinθ(θ为参数，设横坐标为acosθ，是由于圆锥曲线的考虑，椭圆伸缩变换后可为圆此时c=0，圆的acosθ=r)2）双曲线(hyperbola)　　文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个大于1的常数e。定点是双曲线的焦