2014年高考数一轮复习热点难点精讲精析2.12定积分

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1、2014年高考一轮复习热点难点精讲精析：2.12定积分一、定积分的概念与微积分基本定理（一）定积分的计算（利用定义）1、相关链接（1）由定积分定义求定积分的步骤为①分割；②近似代替；③求和；④取极限。（2）关于定积分的概念应注意的问题①积分值仅与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的字母无关，即②定义中区间的分法和的取法都是任意的。③在定积分的定义中，限定下限小于上限，即a

2、=x0

3、……………………①（4）取极限当分点数目越多，即Δx越小，和式①的值就越接近于曲边梯形ABCD的面积S，当，即Δx0时，和式①的极限就是所求的曲边梯形ABCD的面积。（二）定积分的计算（利用微积分基本定理）1、相关链接（1）求函数f(x)在某个区间上的定积分，关键是求函数f(x)的一个原函数，正确运用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系；若原函数不易寻找时，先把f(x)进行变形。（2）计算简单定积分的步骤①把被积函数变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的和或差；②利用定积分的性质把所求的定积分化为若干个定积分的和与差；③分别用求导公式找到F(x)，使得F‘(x)=f(x);④利

4、用牛顿—莱布尼兹公式求出各个定积分的值；⑤计算所求定积分的值。2、例题解析〖例〗（1）；（2）；（3）[K]解析：（1）（2）因为，所以；（3）（三）求分段函数（带绝对值的函数）的积分1、相关链接（1）分段函数的定积分①分段函数在区间[a,b]上的积分可分成几段积分的和的形式；②分段的标准是使每一段上的函数表达式是确定的，一般按照原函数分段的情况分，无需分得过细。（2）奇偶函数在对称区间上的积分①若f(x)为偶函数，且在关于原点对称的区间[-a,a]上连续，则;②若f(x)为奇函数，且在关于原点对称的区间[-a,a]上连续，则2、例题解析〖例1〗（1）求函数在区间上的积分。（2）求。〖思路

5、解析〗（1）f(x)在[0，5]上的定积分，可按照f(x)的分段标准，分成[0，1]，三段的定积分的和；（2）由，可分为二段定积分，再求和。解答：（1）由定积分性质知（2）〖例2〗求的定积分思路分析：利用微积分基本定理，但不能直接应用求解，可先通过换元转化为可利用定积分公式求解的形式。解答：令于是。∴=注：为了消去被积函数中的根式，可令，则，因为定积分与定积分的变量符号无关，所以，从而将问题转化为我们熟悉的被积函数式，再利用定积分公式求得积分值。（四）利用定积分的几何意义求定积分〖例〗利用定积分的几何意义求的值。思路解析：画出被积函数的图象，求出对应图形的面积，由定积分的几何意义便可求出积

6、分值。解答：表示的图象与所围成的图形的面积，如图：由得且（y≥0），∴表示以原点为圆心，a为半径的上半圆，其面积为，∴方法提示：1.定积分的几何意义非常重要，函数的奇偶性又是解决定积分有关问题的重要工具，利用这两点能简捷地解决定积分的有关问题，结论如下：设函数f(x)在闭区间［-a，a］上连续，则：(1)若f(x)是偶函数，则=2f(x)dx;(2)若f(x)是奇函数，则=0.2.当函数f(x)在区间［a,b］上恒为正时，定积分f(x)dx的几何意义是由直线x=a，x=b(a≠b)，y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积.3.根据定积分的几何意义，若f(x)≥0，则在［a,b］上的

7、阴影面积S=；若f(x)≤0，则在［a,b］上的阴影面积S=-.注：当被积函数的原函数不易求，而被积函数的图象与所围成的曲边梯形面积易求时，用曲边梯形面积的代数和的方法求定积分。二、定积分的简单应用（一）利用定积分求图形的面积1、相关链接（1）利用定积分求曲边梯形面积的步骤①画出曲线的草图，确定图形范围；②借助图形，确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；③将曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和或差；④计算定积分