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1、第三节 任意项级数上一节我们已经讨论了正项级数，本节我们讨论既有无限个正项，又有无限个负项的级数，并且判别这种级数的敛散性。我们首先讨论交错级数。定义10.3 如果有级数=或者(un>0)，则称此级数为交错级数。定义10.4 如交错级数中,un满足①un0;②{un}单调减小且收敛于0，则称这样的交错级数为Leibniz级数，对Leibniz级数，我们有下列判别法。定理10.14 Leibniz级数必是收敛级数，且其余和的符号与余和其第一项的符号相同，并满足.证明：设级数的部分和数列为{sn}，我们分别讨论偶数个项组成的部分和数列{s2m}及由奇数个项组成的部分和数列{
2、s2m+1}对于偶数个项的部分和数列{s2m}有s2m=(u1–u2)+(u3–u4)+…+(u2m–1–u2m),s2m+2=(u1–u2)+(u3–u4)+…+(u2m–1–u2m)+(u2m+1–u2m+2)因ui–1–ui0，(i=2,3…)所以数列{s2m}为单调增加数列，另一方面s2m=u1–(u2–u3)–…–(u2m-2–u2m–1)–u2mu1可见数列{u2m}是有界的，故{s2m}收敛，记s2m=s对于奇数个项的部分和{s2m+1}，因为s2m+1=s2m+u2m+1=s所以sn=s,从而知Leibniz级数收敛.又因为=证毕。例10.32判断级数的
3、敛散性解：当时，因一般项不趋于0，故发散.当s>0时，这是交错级数，<事实上=<1又有=0事实上，设An=N有An==∴A<即00时,收敛.Abel判别法我们先引进一个重要的变换—Abel变换为了求和数s=令B1=b1,B2=b1+b2,…,Bm=b1+b2+…+bm于是b1=B1,b2=B2–B1,…,bm=Bm–Bm-1这样，就可以把和数写为s==a1b1+a2(B2–B1)+a3(B3–B2)+…+am(Bm–Bm-1)=这个变换称为Abel变换，也称为分部求和公式。读者可以证明:Abel变换又可以写为=将Abel变换与积分
4、学中的分部积分公式相比较:分部积分公式==其中，Abel变换=读者马上发现，Abel变换中的Bi相当于分部积分公式中的G(x),相当于微分，和式相当于积分.从而Abel变换就是离散形式的分部积分公式。引理10.3.1（Abel引理）设ai(i=1,2,…,m)，bi(i=1,2,…,n)为实数，且（i）ai(i=1,2,…,m)为单调（增加或减少）的;（ii）M,(i=1,2,…,m).（其中Bi=b1+b2+…bi）则
5、证明：利用Abel变换由于每个(k=1,2,…,m-1)都有相同的符号，又因为，M(k=1,2,…,m－1),可是有MM推论：如果(k=1,2,…,m
6、-1)，并且那么Ma1有了Abel引理，下面我们引入Abel判别法。定理10.15（Abel判别法）如果（i）级数收敛（ii）数列{an}单调有界，存在常数k使则级数收敛。证明：由收敛，由Cauchy收敛原理，,存在N,当n>N时,对任意自然数p有又由,从而由Abel引理知由Cauchy收敛原理知收敛。例10.33判别级数的敛散性。解：由Leibniz判别法知收敛,数列单调有界，由Abel判别法知级数收敛。由Abel引理，我们还可以推出另一个判别法—Dirichlet判别法.定理10.16Dirichlet判别法:如果（i）级数的部分和Bn有界,即存在常数M使M(n=1
7、,2,…);（ii）数列{an}单调趋于0.则级数收敛。证明：由=0知,存在N,当n>N时,有
8、an
9、<，又由条件（i）知对任意自然数p,有=所以由Abel引理知，]由Cauchy收敛原理知级数收敛例10.34判别级数的敛散性。解：已知数列单调减少，且=0,的部分和sn的绝对值
10、sn
11、=
12、
13、=
14、
15、==即{sn}有界，由Dirichlet判别法知收敛.注：Abel判别法与Dirichlet判别法有如下关系：由Dirichlet判别法可以推出Abel判别法.事实上，如Abel判别法的条件成立，则{an}的极限存在，设=a,显然(an–a)单调趋于0,又由收敛知其部分和有界，
16、所以由Dirichlet判别法知,级数收敛，而=+为两个收敛级数之和，从而收敛。另外：Leibniz判别法也可看成是Dirichlet判别法的一个推论，事实上，对于Leibniz级数如un0且un单调下降趋于0.令an=un,bn=(－1)n+1(n=1,2,…),由Dirichlet判别法知级数收敛。下面我们介绍几个典型例题。例10.35讨论级数的敛散性。解:设f(x)=则(x)=因此当x>9时,函数f(x)单调递减，即当n>9时，数列单调递减，又由L’Hospital法则,有由Leibniz判别法知原级数收敛。例10.36求证:若级数
