数列求和方法教案

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1、高中数学数列学生：赖怡文数列求和的基本方法和技巧数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础.在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位.数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧.下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧.一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.1、等差数列求和公式：2、等比数列求和公式：3、4、5、例1已知，求的前n项和.解：由由等比数列求和公式得（利用常用公式）＝＝＝1－例2设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求的最大值.解：由

2、等差数列求和公式得，（利用常用公式）∴＝＝＝爱心用心专心放心联系电话：13670008950第10页共10页教师：邓老师2013-07-20高中数学数列学生：赖怡文∴当，即n＝8时，例3求．解：原式．由等差数列求和公式，得原式．二、错位相减法求和类似于等比数列的前n项和的公式的推导方法。若数列各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘得到，即数列是一个“差·比”数列，则采用错位相减法.若，其中是等差数列，是公比为等比数列，令则两式相减并整理即得例4求和：………………………①解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{}的通项之积设……………………….②

3、（设制错位）①－②得（错位相减）再利用等比数列的求和公式得：∴小结：错位相减法的步骤是：①在等式两边同时乘以等比数列的公比；②将两个等式相减；③利用等比数列的前n项和公式求和.例5求数列前n项的和.解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{}的通项之积爱心用心专心放心联系电话：13670008950第10页共10页教师：邓老师2013-07-20高中数学数列学生：赖怡文设…………………………………①………………………………②（设制错位）①－②得（错位相减）∴例7（2008年全国Ⅰ第19题第（2）小题，满分6分）已知，求数列｛an｝的前n项和Sn.解：①②②

4、—①得小结：错位相减法的求解步骤：①在等式两边同时乘以等比数列的公比；②将两个等式相减；③利用等比数列的前n项和的公式求和.三、反序相加法求和这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个.[例8]求证：证明：设…………………………..①把①式右边倒转过来得（反序）又由可得…………..……..②①+②得（反序相加）∴[例9]求的值爱心用心专心放心联系电话：13670008950第10页共10页教师：邓老师2013-07-20高中数学数列学生：赖怡文解：设………….①将①式右边反序得…………..②（反序）又因为

5、①+②得（反序相加）＝89∴S＝44.5例10求的和．分析：由于数列的第项与倒数第项的和为常数1，故采用倒序相加法求和．解：设则．两式相加，得．小结：对某些具有对称性的数列，可运用此法.例11已知函数（1）证明：；（2）求的值.解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边（2）利用第（1）小题已经证明的结论可知，两式相加得：所以.爱心用心专心放心联系电话：13670008950第10页共10页教师：邓老师2013-07-20高中数学数列学生：赖怡文小结：解题时，认真分析对某些前后具有对称性的数列，可以运用倒序相加法求和.四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列

6、，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.有一类数列，它既不是等差数列，也不是等比数列.若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例12求和：解：例13求数列的前n项和：，…解：设将其每一项拆开再重新组合得（分组）当a＝1时，＝（分组求和）当时，＝例14求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.解：设∴＝将其每一项拆开再重新组合得Sn＝（分组）＝＝（分组求和）＝爱心用心专心放心联系电话：13670008950第10页共10页教师：邓老师2013-07-20高中数

7、学数列学生：赖怡文例15求数列，的前项和．分析：此数列的通项公式是，而数列是一个等差数列，数列是一个等比数列，故采用分组求和法求解．解：．小结：在求和时，一定要认真观察数列的通项公式，如果它能拆分成几项的和，而这些项分别构成等差数列或等比数列，那么我们就用此方法求和.五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如：（1）（2）（3）（4）（5）(6)把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按