06固体能带理论3(2学时)_678703256

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1、第六章固体能带理论清华大学电子系三维周期场中近自由电子近似固体物理（2011-2012春）清华大学电子工程系汪莱3处理原则尽管数学上可能比较复杂，但处理方法与一维情况一致首先引入自由电子波函数和本征值作为基态然后分别处理非简并微扰简并微扰此外，对于自由电子波函数的波矢，也类似地纳入到简并波矢固体物理（2011-2012春）清华大学电子工程系汪莱4三维周期场中的电子波动方程波动方程其中V(r)Rm是布拉伐格子的格矢量，用基矢表示为固体物理（2011-2012春）清华大学电子工程系汪莱5零级近似波函数可以表达为波矢为k的平面波晶体的体积为V相应的能量本征值固体物理（2011-2012

2、春）清华大学电子工程系汪莱6周期性边界条件对k的取值限制k的取值点k空间均匀分布的点,密度为固体物理（2011-2012春）清华大学电子工程系汪莱7微扰对本征值的一级修正零级近似波函数满足正交归一化条件微扰对本征值的一级修正固体物理（2011-2012春）清华大学电子工程系汪莱8微扰对波函数的一级修正微扰对本征值的二级修正固体物理（2011-2012春）清华大学电子工程系汪莱9矩阵元令矩阵元固体物理（2011-2012春）清华大学电子工程系汪莱10如果上式=N1N2N3=N否则固体物理（2011-2012春）清华大学电子工程系汪莱11矩阵元当当注意：只有那些和k相差一个倒格矢的k

3、’，才对其本征值的修正有贡献固体物理（2011-2012春）清华大学电子工程系汪莱12对于本征值和波函数的修正本征值的二级修正波函数的一级修正显然如果将r改变一个格矢量Rm，括号内的函数值不变固体物理（2011-2012春）清华大学电子工程系汪莱13简并微扰问题当k与k’=k+Gn的零级能量相等时，出现简并问题即k处于布里渊区边界由于简并态的影响，将会发生能级间的排斥作用，使得E(k)在k空间的布里渊区边界处断开，即发生突变固体物理（2011-2012春）清华大学电子工程系汪莱14GnOk-Gn-Gn/2k+Gn/2k‘=k+Gn若把k看成Gn中垂面的入射波矢k’恰是Gn中垂面的

4、反射波矢与Gn垂直的晶面族面间距为Gh=Gn/m，m为整数当电子波矢落在布里渊区边界上时，电子将受到与布里渊区边界平行的晶面族的强烈散射。在晶面族的反射方向上，各格点的散射波相位相同，迭加形成很强的反射波。复式晶格固体物理（2011-2012春）清华大学电子工程系汪莱15假定一个原胞内有t个原子，他们在原胞中的位矢是μ=1、2、…、t晶体的周期性势场是t个子晶格的周期性势场的叠加把第μ个子晶格的周期性势场展开成傅立叶级数那么其中复式晶格固体物理（2011-2012春）清华大学电子工程系汪莱16如果原胞中所有原子都是同一种元素，则V(Gn)可写成称为结构因子如果S(Gn)=0，则相

5、应的布拉格反射不复存在，此时V(Gn)=0。在相应的布里渊区边界，禁带宽度也等于零。S(Gn)=0说明，每个子晶格满足以为Gn标志的布拉格反射，但同一原胞中属于不同子晶格的原子引起的反射波有相位差Gn∙dμ，它们正好相互干涉而使布拉格反射消失例：金刚石对于金刚石结构，证明当Gn=2A时，电子受到的晶格势的傅立叶分量V(Gn)为零。A为惯用立方原胞的倒格子基矢。固体物理（2011-2012春）清华大学电子工程系汪莱17金刚石原胞，含有两个C原子，坐标分别为(0,0,0)和(¼,¼,¼)电子在其中的势能可以表示为代入d1=0a1+0a2+0a3，d2=a/4a1+a/4a2+a/4a

6、3，Gn=2A=4π/ab1+4π/ab2+4π/ab3所以对应于傅立叶分量V(Gn)为零固体物理（2011-2012春）清华大学电子工程系汪莱18采用简并微扰方法求解比一维情况复杂简并态的数量不全是2个，有可能大于2个A点C点固体物理（2011-2012春）清华大学电子工程系汪莱19布里渊区与能带简单立方晶格在k空间的2维示意图第1、第2、第3……布里渊区固体物理（2011-2012春）清华大学电子工程系汪莱20布里渊区与能带每个布里渊区内部的能级是连续的布里渊区边界能级发生突变属于一个布里渊区的能级构成一个能带不同的布里渊区的能级对应不同的能带每个布里渊区的体积是相等的，等于

7、倒格子原胞的体积，计入自旋，每个能带包含有2N个量子态固体物理（2011-2012春）清华大学电子工程系汪莱21布里渊区与能带三维情况下，不同的能带在能量上不一定能够分割开固体物理（2011-2012春）清华大学电子工程系汪莱22三维情况下的简约波矢简约波矢限制在第一布里渊区中在第一布里渊区之外的k可以通过改变某一个倒格矢而转换为简约波矢每一个简约波矢，有能量高低不同的一系列状态，分布属于不同的能带指明状态，必须同时指明简约波矢和分属哪个能带30230604清华大学电子工程系/熊