Fourier变换的应用分析毕业论文.doc

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1、Fourier变换的应用分析毕业论文目录1绪论11.1Fourier变换概述11.2研究目的和意义22Fourier变换基本理论32.1Fourier级数的定义32.2Fourier变换的定义32.3Fourier变换的物理意义42.4Fourier变换的基本性质53Fourier变换几种重要变种83.1有限长序列的Fourier分析83.2离散Fourier级数(DFS)93.3离散Fourier变换(DFT)103.4分数阶Fourier变换(FRFT)的定义和性质174Fourier变换的应用案例研究

2、204.1离散Fourier变换(DFT)的应用分析204.2分数阶Fourier变换(FRFT)的应用分析275快速Fourier变换的算法以及实现355.1算法原理355.2按时间抽取的FFT算法与直接计算DFT运算量的比较395.3算法的C++实现416总结和展望44参考文献45致谢48IFourier变换的应用分析481绪论1.1Fourier变换概述Fourier变换的基本思想首先由法国学者Fourier系统提出，所以，以其名字来命名以示纪念。1807年，Fourier向巴黎科学院呈交《热的传播》

3、论文，推导出著名的热传导方程，并在求解该方程时发现解函数可以由三角函数构成的级数形式表示，从而提出任一函数都可以展成三角函数的无穷级数。Fourier级数(即三角级数)、Fourier分析等理论均由此创始。最初Fourier分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的[1]。自此之后，Fourier变换经过了长时间的发展，衍生了很多不同的变种，在各个领域逐渐得到更为广泛的应用。在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域Fourier变换都有着广泛的应用(例如

4、在信号处理中，Fourier变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量)。特别是在分数阶Fourier变换[2]被提出后，它的应用更是走上了一个新的台阶。在现代数学的理论体系中，Fourier变换正在各个领域起着举足轻重的作用。从哲学上看，“分析主义”和“还原主义”[3]，就是要通过对事物内部适当的分析达到增进对其本质理解的目的。比如近代原子论试图把世界上所有物质的本源分析为原子，而原子不过数百种而已，相对物质世界的无限丰富，这种分析和分类无疑为认识事物的各种性质提供了很好的手段。在数学领域也是这样，尽

5、管最初Fourier分析是作为热过程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。“任意”的函数通过一定的分解，都能够表示为正弦函数的线性组合的形式，而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类，这一想法跟化学上的原子论[4]想法又是非常的相似。这就引起了人们对Fourier变换的广泛关注和研究，现代数学理论发现Fourier变换具有非常好的性质，例如：(1)Fourier变换是线性操作数，若赋予适当的范数，它还可以是酉操作数；(2)Fourier变换的逆变换容易求出，而且形式与

6、正变换非常类似；(3)正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解。在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取；(4)著名的卷积定理[5]指出：Fourier变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算，从而提供了计算卷积的一种简单手段；(5)离散形式的Fourier变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速Fourier变换算法(FFT))。由于上述的良好性质，并且FourierFou

7、rier变换的应用分析48变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数(正弦和/或余弦函数)或者它们积分的线性组合。在不同的研究领域，Fourier变换还具有多种不同的变体形式，如连续Fourier变换和离散Fourier变换等。也正因为此，Fourier变换不光在物理学、数论、组合数学、概率论、统计学等经典学科中有着十分重要的应用，而且还在信号处理、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学、经济学等新学科中有出色的表现。1.2研究目的和意义在许多科学分支的理论中，Fourier变换都扮演着重要的角色。就像其

8、他的变换一样，它们可以被单纯的看做数学泛函。同时，在很多领域，它们恰好和它们所起源的函数一样有明确的物理意义。例如，一个波形——光的，电的，声的——和它可以同样地理解为实际上可想象的和可测量的实体：示波器可使我们看见点波形，而分光镜或是频谱分析仪使我们可以看见光的或是电的谱。我们对声音的鉴别甚至更为直接，因为耳朵听到的是谱。波形和谱互为Fourier变换，因此，Fourier变换是一个不寻常的物理关系。另外，Fo