用拉氏变换法解线性微分方程

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1、用拉氏变换法解线性微分方程一基本定义∞0若函数f(t)，t为实变量，线积分∞0∫f(t)e-stdt(s为复变量)存在，则称其为f(t)的拉氏变换，记为F(s)或£[f(t)]，即F(s)=£[f(t)]=∫f(t)e-stdt常称：F(s)→f(t)的象函数；f(t)→F(s)的原函数。二基本思路用拉氏变换解线性微分方程，可将经典数学中的微积分运算转化成代数运算拉氏变换象函数微分方程解代数方程拉氏反变换象原函数（微分方程解）象函数代数方程f(t)三典型函数的拉氏变换11、单位阶跃函数0f(t)=1(t)=1t≧0∞0∞0t0t<0F(s)=£[f

2、(t)]=∫f(t)e-stdt=∫1e-stdt=1/sf(t)2、单位斜坡函数f(t)=t1(t)=tt≥0∞00t<0tF(s)=£[f(t)]=∫te-stdt=1/s²3、等加速度函数f(t)f(t)=1/2t²t≥0∞00t<0tF(s)=∫1/2t²e-stdt=1/s³4、指数函数f(t)αtf(t)=et≥00t<0∞0tF(s)=∫1/2t²e-stdt=1/(s-α)f(t)5、正弦函数f(t)=sinwtt≥0t∞00t<0F(s)=∫sinwte-stdt=w/(s²+w²)四拉氏变换的几个法则对于一些简单原函数，可根据拉

3、氏变换定义求象，但对于较复杂的原函数，必须用到下面几个定理求取其象函数：1、线性定理若：£[f1(t)]=F1(s)，£[f2(t)]=F2(s)(a、b为常数)则£[af1(t)+bf2(t)]=aF1(s)+bF2(s)2、微分定理n-1若：£[f(t)]=F(s)i=0则£[dⁿf(t)/dtⁿ]=sⁿF(s)-∑sn-i-1f(i)(0)式中f(i)(0)为f(t)及其各阶导数在t=0时的值若f(i)(0)=0（a=1，2，…n）则£[dⁿf(t)/dtⁿ]=sⁿF(s)1、积分定理若：£[f(t)]=F(s)，在零初始条件下：则£[∫…∫

4、f(t)dtⁿ]=1/sⁿF(s)2、位移定理（延时定理）-sto若：£[f(t)]=F(s)-αt则时域：£[f(t-t0)1(t-t0)]=F(s)eS域：£[f(t)e]=F(s+α)3、初值与终值定理若：£[f(t)]=F(s)，且f(t)的拉氏变换存在，s→∞t→0则f(0)=limf(t)=limsF(s)s→0t→∞f(∞)=limf(t)=limsF(s)例：求阶跃函数f(t)=A1(t)的象函数解：F(s)=£[A1(t)]=A£[1(t)]=A1/s例：求脉冲函数δ(t)的象函数解：∵δ(t)=d1(t)/dt∴应用微分定理（初

5、零）得：F（s）=£[d1(t)/dt]=sF(s)=s1/s=1-αt例：求f(t)=esinwt的拉氏变换-αt解：应用位移定理，F（s）=£[esinwt]=w/[(s+α)²+w²]-stσ+∞σ-∞五拉普拉斯反变换定义：若£-¹[F(s)]=f(t)=1/（2πj）∫F(s)edt，则称上式为F(s)的拉氏反变换。由于上式中复变函数积分一般很难计算，∴由F(s)求f(t)常用部分分式法。1、求拉氏反变换的思路与步骤①将F(s)分解成简单的有理分式函数之和②确定待定系数s→si若F(s)分母无重根,则系数Ci=lim(s-si)F(s)s→

6、si若F(s)分母有重根,则系数Cm=lim(s-si)mF(s)s→siCm-1=lim(d/ds)[(s-si)mF(s)]s→siCm-j=lim1/j!dj/dsj[(s-si)mF(s)]………s→siC1=1/(m-1)!limdm-1/dsm-1[(s-si)mF(s)]③化简F(s)④由变换表求F(s)→f(t)s+2s2+4s+32、应用举例例：F(s)=C2s+3C1s+1s+2(s+1)(s+3)解：(1)F(s)==+s+2(s+1)(s+3)s→-1(2)C1=lim(s+1)=1/2s+2(s+1)(s+3)s→-3C2

7、=lim(s+3)=1/21s+13s+1(3)简化F(s)=1/2+1/2(4)查表：f(t)=1/2e-t+1/2e-3t=1/2(e-t+e-3t)s+2s(s+1)2(s+3)例：F(s)=，求拉氏反变换。C4s+3C3sC2s+1C1（s+1）2解：(1)F(s)=+++s+2s(s+1)2(s+3)s→-1(2)C1=lim(s+1)²=-1/2s+2s(s+1)2(s+3)s→-1C2=limd/ds[(s+1)2]=-3/4s→0C3=lim(s-0)F(s)=2/31s+31s1s+11（s+1）2s→-3C4=lim(s+3)F

8、(s)=1/12(3)F(s)=-1/2-3/4+2/3+1/12(4)查表得：f(t)=-1/2te-t-3/4e-t+