混沌映射牛顿迭代法及其在机构运动学综合中的应用

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1、混沌映射牛顿迭代法及其在机构运动学综合中的应用第31卷第2期混沌映射牛顿迭代法及其在机构运动学综合中的应用35文章编号:1004—2539{2007)02—0035—02混沌映射牛顿迭代法及其在机构运动学综合中的应用(湖南文理学院机械工程系,湖南常德415000)罗佑新李晓蜂廖德岗摘要自然科学与工程中的许多问题都可以转化为非线性方程组的求解f,'-I题,牛顿迭代法是重要的一维及多维的迭代技术,其迭代本身对初始点非常敏感.本文运用混沌映射%+1=sin(2/x)产生初始点,首次提出了基于混沌映射的牛顿迭代法求解非线性方程组

2、的新方法.机构运动学综合的实例表明了该方法的正确性与有效性.关键词混沌映射连杆机构非线性方程组引言1折叠次数无限的混沌映射[4]自然科学与工程中的诸多问题都可以转化为非线性方程组的求解问题,如何快速而有效地求出非线性方程组的全部解是数学工作者和工程专家都十分重视的问题.对于非线性方程组求解已有许多方法,如牛顿迭代法及其改进方法【卜,同伦法【J,数学机械化[],Groebner基方法[,结式法E8],区间分析法,泛灰求解法以及优化法等一系列的方法,这些方法各有其优点和不足.如符号法计算量大,中间多项式膨胀等,而数值方法的同

3、伦法虽可求出全部解,但计算量大,而优化法与牛顿法则只能得到一个解,对初始值相当敏感.这些数值方法的研究重点放在算法上,没有注意到这些方法本身就是由数值迭代过程所构成的非线性离散动力系统,对这种迭代过程所产生的动力学行为的研究则更少.牛顿迭代技术是一种非线性方程及非线性方程组常用的求解技术,其最大的特点是具有二阶敛速,收敛速度快,迭代函数明了,其动力学特性较易把握,但对初始值较为敏感,但计算量大,且只能得到一个解.文献[9一l0]提出了求解非线性方程组的混沌方法,为非线性方程及方程组求解提供了新途径,文献[11—13]提出

4、了采用粗略迭代与精确迭代以提高其计算效率.文献[9—13]所述的混沌方法是认为牛顿迭代法的Ju—lia集中的点出现在被求解方程组的Jacobi矩阵行列式为0的邻域中,但此猜想未得到证明,且对于多变量Jacobi矩阵行列式首先要求出其符号表达式,留下一待定变量外要取定的其余所有变量值,再对这一变量寻找混沌区,求解复杂.本文利用混沌映射产生敏感的初始点,再用牛顿迭代法求解,提出一种求解非线性方程组全部解的新方法,给出了机构运动学综合的数值实例,证明了新方法的有效性与正确性.一维混沌映射的表达式为+.=f()在其相空内总会有线

5、性或非线性的折叠现象,否则不可能产生混沌.在某种意义上,用于刻画映射"混沌性"的Lya—punov指数也可以看作是映射平均折叠次数的一种表示.当映射的平均斜率的绝对值大于1时,Lyapunov指数为正.一般的Logistic映射,Tent映射,Chebyshev映射等的映射折叠次数都是有限的,但它们产生的混沌序列都有较好的混沌性.考虑由式(1)定义一维映射+1=sin(2/x),(n=0,1,2,…,一1≤≤1,≠0)(1)该映射由于折叠无限,在区间[一1,1]内有无穷多个不动点和零点,因此,要映射产生混沌,必须注意以下

6、2点:一是迭代初值不为0;二是初始值不能取为无穷多个不动点的任何一个,否则为稳定轨道,不能产生混沌(不动点为方程=sin(2/x)的解).由上面的分析可以得到超越数2/krc,且为=sin(2/x)超越方程,所以其解也必为超越数,而在实际运算过程中,超越数不可能出现,总是以有限精度的有理数来近似,因此,只要初始值不能为0,混沌就会发生,此时映射的定义为[一1,0)U(0,1],并除去各超越点.Lyapunov指数是衡量混沌性质的一个重要指标.混沌自映射(1)的Lyapunov指数为:nm()lnl厂,()ln一田g/,i

7、=0:lim()lnl..()l(2)n_.'乃i0XiXiLyapunov指数与常用的有限折叠次数的映射相比,显然(1)的混沌性更为明显.2牛顿迭代函数如果要求非线性方程机械传动200r7年厂()=0(3)的解.Newton迭代法可以简述为下列步骤首先初选;然后按,r.,+=一k=0,1,21Xk13,…L4,)+一7_='',…进行迭代,其中厂()为厂()在点的函数值,厂(Xk)为)在点祝的一阶导数值,也称为f()的Ja.con矩阵,通常以.,表示..厂()表示牛顿迭代函数值.牛顿迭代法原本是用于单变量的实值方程求解

8、的,将它直接推广到Banaeh空间便可以求多元非线性方程组.当选择的迭代初始值满足一定的条件时,牛顿迭代法是二阶收敛的2.注意用牛顿迭代法时,要避免出现.厂()=0,否则出现奇异.为了提高牛顿迭代法的性能,有多种改进算法,但都是从算法上进行研究的,不是从机理上进行研究.3基于混沌映射的牛顿迭代法基于混沌映射的非线性方